[論文レビュー] Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation

Terence Tao|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2014

Navier-Stokes equation solutions参考文献 27被引用数 33

ひとこと要約

この論文は、非線形2次形式作用素を回転、拡大、フーリエ乗算子平均化によって変更することで、3次元ナビエ＝ストークス方程式の平均化版に対して有限時間 blowup 解を構成する。エネルギーキャンセレーション性質を保ったまま、その主要な結果は、このような平均化モデルが滑らかな初期データをもつにもかかわらず有限時間に特異点に至ることを示しており、真のナビエ＝ストークス方程式のグローバル正則性の証明が、調和解析とエネルギー保存則を越えたより微細な非線形構造を利用しなければならないことを示している。

ABSTRACT

The Navier-Stokes equation on the Euclidean space $\mathbf{R}^3$ can be expressed in the form $\partial_t u = Δu + B(u,u)$, where $B$ is a certain bilinear operator on divergence-free vector fields $u$ obeying the cancellation property $\langle B(u,u), u angle=0$ (which is equivalent to the energy identity for the Navier-Stokes equation). In this paper, we consider a modification $\partial_t u = Δu + ilde B(u,u)$ of this equation, where $ ilde B$ is an averaged version of the bilinear operator $B$ (where the average involves rotations and Fourier multipliers of order zero), and which also obeys the cancellation condition $\langle ilde B(u,u), u angle = 0$ (so that it obeys the usual energy identity). By analysing a system of ODE related to (but more complicated than) a dyadic Navier-Stokes model of Katz and Pavlovic, we construct an example of a smooth solution to such a averaged Navier-Stokes equation which blows up in finite time. This demonstrates that any attempt to positively resolve the Navier-Stokes global regularity problem in three dimensions has to use finer structure on the nonlinear portion $B(u,u)$ of the equation than is provided by harmonic analysis estimates and the energy identity. We also propose a program for adapting these blowup results to the true Navier-Stokes equations.

研究の動機と目的

• 3次元ナビエ＝ストークス方程式のグローバル正則性問題における「超臨界性の障壁」を形式化すること。
• エネルギー保存則と調和解析の推論のみでは、3次元ナビエ＝ストークス方程式における blowup を排除できないことの証明。
• エネルギー恒等式を保った平均化ナビエ＝ストークス方程式のモデルにおいて、滑らかで有限時間 blowup を有する解を構成すること。
• 真のナビエ＝ストークス方程式へのこのような blowup 結果の拡張のためのプログラムを提唱すること。

提案手法

• エネルギー恒等式を模倣するように、$\tilde{B}(u,u), u \rangle = 0$ を満たす平均化された2次形式作用素 $\tilde{B}$ を定義する。
• Katz-Pavlovic モデルを模倣した、平均化方程式内の非線形相互作用をモデル化するための階層的ODE系を構築する。
• モード $a_0, d_0, c_0, a_1$ 間の結合項を含む修正エネルギー関数 $E_*$ を用いて、エネルギー移動と減衰を追跡する。
• Gronwallの不等式を適用して主要変数の時間発展を制御し、低周波数モードにおけるエネルギーの指数的減衰推定を得る。
• 矛盾による議論を用いて、高周波数モード $a_1$ が正の下界にまで成長し、blowup を引き起こすことを証明する。
• ODE系の構造とエネルギー等分配を用いて、$a_0, d_0$ から $a_1$ へエネルギーが流れ込むことを示し、有限時間特異点の発生を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギー恒等式を保った平均化された3次元ナビエ＝ストークス方程式の滑らかな解は、有限時間に blowup することができるか？
• RQ2 エネルギー保存則と調和解析の推論が blowup を防げないことは、グローバル正則性の証明における根本的障壁を示唆するか？
• RQ3 キャンセレーション法則を保った修正非線形作用素 $\tilde{B}$ でさえ、下位臨界正則性のもとで有限時間 blowup を引き起こすことができるか？
• RQ4 blowup 機序は、真のナビエ＝ストークス方程式における blowup の構成に向けた道筋を示唆するほど十分に頑健か？
• RQ5 非線形性のより微細な構造は、有限時間特異点の発生を防ぐか、あるいは可能にするか？

主な発見

• エネルギーキャンセレーションを保った平均化された3次元ナビエ＝ストークス方程式の滑らかな解は、有限時間に blowup する。
• blowup は、低周波数から高周波数へのエネルギー移動に起因し、$a_1$ を正の閾値を超えて増幅する非線形結合によって駆動される。
• 修正エネルギー $E_*$ は指数的に減少し、$\tilde{E}_0(t) \lesssim \exp\left(-K\int_{t_c+K^{-9}}^t a(t') dt'\right) + O(K^{-28})$ と表される。これは急速なエネルギー損失を示している。
• 高周波数モード $a_1(t)$ は $t \in [t_c + K^{-1}, \tau_1]$ において $a_1(t) \geq 0.05$ を満たし、持続的な成長が確認される。
• $\tilde{E}_0(\tau_1) \lesssim K^{-28}$ という境界により、低周波数エネルギーが抑制されていることが確認され、blowup の発生が可能になる。
• 矛盾による議論により、$a_1(t_c + 1/K) \geq 0.1$ が成立しなければならないことが証明され、これは blowup 機序の開始に不可欠である。