[論文レビュー] Finite time blowup for Lagrangian modifications of the three-dimensional Euler equation

Terence Tao|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 44被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、滑らかな解におけるラグランジュ型修正3次元オイラー方程式の有限時刻 blowup を、元のオイラー方程式の主要な幾何的性質および保存則を保つ、次数 -2 の一般化されたベクトルポテンシャル作用素 A の構成によって示している。このように、3次元空間上に自己随伴的かつ正定値な作用素を含む3つの異なる構成が、有限時刻に特異点を発生させる解をもたらすが、これは、グローバルな正則性を、これらの構造的性質のみを用いて証明することはできないことを示している。

ABSTRACT

In the language of differential geometry, the incompressible inviscid Euler equations can be written in vorticity-vector potential form as \begin{align*} \partial_t ω+ {\mathcal L}_u ω&= 0\\ u &= δ ilde η^{-1} Δ^{-1} ω\end{align*} where $ω$ is the vorticity $2$-form, ${\mathcal L}_u$ denotes the Lie derivative with respect to the velocity field $u$, $Δ$ is the Hodge Laplacian, $δ$ is the codifferential (the negative of the divergence operator), and $ ilde η^{-1}$ is the canonical map from $2$-forms to $2$-vector fields induced by the Euclidean metric $η$. In this paper we consider a generalisation of these Euler equations in three spatial dimensions, in which the vector potential operator $ ilde η^{-1} Δ^{-1}$ is replaced by a more general operator $A$ of order $-2$; this retains the Lagrangian structure of the Euler equations, as well as most of its conservation laws and local existence theory. Despite this, we give three different constructions of such an operator $A$ which admits smooth solutions that blow up in finite time, including an example on ${\bf R}^3$ which is self-adjoint and positive definite. This indicates a barrier to establishing global regularity for the three-dimensional Euler equations, in that any such method must use some property of those equations that is not shared by the generalised Euler equations considered here.

研究の動機と目的

• 3次元オイラー方程式のラグランジュ構造および保存則が、グローバル正則性を保証するのに十分かどうかを調査すること。
• 元の系が持つ幾何的性質および保存則を保ちつつ、次数 -2 の修正されたベクトルポテンシャル作用素 A を用いた一般化されたオイラー型方程式を構成すること。
• 強い構造的制約（例えば自己随伴性および正定値性）のもとでも、そのような一般化系において有限時刻 blowup が生じることを示すこと。
• 古典的3次元オイラー方程式のグローバル正則性を証明する際の根本的障壁を特定し、その証明が、これらの一般化モデルとは共有されない性質に依存しなければならないことを示すこと。

提案手法

• 微分幾何学的枠組みを用いた一般化オイラー方程式の形式的定式化を行い、一般作用素 A（次数 -2）を用いた渦度-ポテンシャル形式で系を表現すること。
• 元のオイラー方程式のラグランジュ構造を保つために、Lie 擬似微分 L_u を用いること。
• バイオ・サバール則の変更を介して、3つの異なる作用素 A の構成を行い、そのうち1つは ℝ³ 上で自己随伴的かつ正定値である。
• エネルギー推定および渦度 ω と補助関数の輸送方程式を用いて、特異点の発展を追跡すること。
• 円柱座標および局所座標系（例：(w¹,w²,w³)_{rsc}）を用いて、解の台およびその伝播を分析すること。
• コンパクトネスおよび連続性の議論を用いて、解が拡張する領域に常に台を保つことができないことを示し、矛盾を導き、blowup を得ること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグランジュ構造および保存則を保つ一般化された3次元オイラー方程式において、有限時刻 blowup が生じ得るか。
• RQ2 次数 -2 の自己随伴的かつ正定値な作用素 A を構成しても、滑らかな解において有限時刻 blowup が生じ得るか。
• RQ3 オイラー方程式の保存則および幾何学的構造のみで、爆発を防げるのか、それともより特定的な追加の性質が必要か。
• RQ4 古典的3次元オイラー方程式のグローバル正則性に不可欠な構造的特徴は何か。特に、一般化モデルに欠落している点は何か。

主な発見

• ラグランジュ構造を保つ一般化された3次元オイラー方程式において、滑らかな解が有限時刻 blowup を示す。これは、作用素 A が自己随伴的かつ正定値であっても同様に成立する。
• 3つの異なる作用素 A の構成が提示され、それぞれが有限時刻 blowup を引き起こす。そのうち1つは境界なし・周期的構造なしの ℝ³ 上に定義されている。
• 爆発のメカニズムは、解の台が拡張する空間的領域に留まらないことによるもので、輸送および台の伝播に関する議論によって矛盾が生じる。
• 渦度 ω はコンパクトに台を持つままであり、輸送方程式に従って進化するが、修正されたベクトルポテンシャル A のため、速度場 u は有限時刻に有界でなくなる。
• この構成により、古典的3次元オイラー方程式のグローバル正則性は、保存則および幾何学的構造のみを用いては証明できないことが示された。なぜなら、これらの性質は爆発モデルと共有可能であるからである。
• この結果は、3次元オイラー方程式のグローバル正則性の証明が、バイオ・サバール則の具体的な形のような、これらの一般化モデルとは共有されない性質に依存しなければならないことを示唆している。