[論文レビュー] Finite-time Blowup for the Inviscid Primitive Equations of Oceanic and Atmospheric Dynamics

Chongsheng Cao, Slim Ibrahim+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2012

Navier-Stokes equation solutions参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、海洋・大気力学の三次元非粘性原始方程式の滑らかな解が、特定の初期データのクラスに対して有限時刻で爆発する可能性を示している。対称性の仮定の下でこの系を二次元モデルに還元し、明示的な特異解を構成することで、著者らは解が有限時刻で正則性を失することを証明した。これは、粘性系では大域的良設定性を示すにもかかわらず、非粘性系の不安定性を強調している。

ABSTRACT

In an earlier work we have shown the global (for all initial data and all time) well-posedness of strong solutions to the three-dimensional viscous primitive equations of large scale oceanic and atmospheric dynamics. In this paper we show that for certain class of initial data the corresponding smooth solutions of the inviscid (non-viscous) primitive equations blow up in finite time. Specifically, we consider the three-dimensional inviscid primitive equations in a three-dimensional infinite horizontal channel, subject to periodic boundary conditions in the horizontal directions, and with no-normal flow boundary conditions on the solid, top and bottom, boundaries. For certain class of initial data we reduce this system into the two-dimensional system of primitive equations in an infinite horizontal strip with the same type of boundary conditions; and then show that for specific sub-class of initial data the corresponding smooth solutions of the reduced inviscid two-dimensional system develop singularities in finite time.

研究の動機と目的

• 非粘性原始方程式が大規模な海洋・大気力学に適用される場合、大域的滑らかな解を許容するか、それとも有限時刻で特異性を示すかを調査すること。
• 粘性が存在しないことで不安定化や爆発が生じるか、粘性系では大域的正則性が保証されているにもかかわらずそうなるかを特定すること。
• 非粘性系の滑らかな解が有限時刻で特異性を示すような明示的初期データを構成すること。

提案手法

• 非粘性原始方程式に対して滑らかな解を仮定し、対称性条件を課して三次元系を二次元モデルに還元する。
• 原点における垂直速度成分の削減された方程式を導出し、非局所項を含む非線形偏微分方程式の形をとる。
• ゼロディリクレ境界条件を満たす非線形常微分方程式の境界値問題を解くことにより、削減された方程式の明示的爆発解を構成する。
• エネルギー推定とグローヴァルの不等式を用いて、削減された方程式の解の一意性を証明し、爆発が系の本質的性質であることを保証する。
• 一意性結果を応用して、全解が削減された系からの爆発行動を引き継ぐことを示す。
• 水平方向に正弦モードを、縦方向にプロファイル関数をとる初期データの族を構成し、これが有限時刻での爆発を引き起こす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三次元非粘性原始方程式の滑らかな解は、特定の初期データに対して有限時刻で特異性を示すか？
• RQ2 原始方程式から粘性が欠如している場合、粘性系が大域的良設定であるにもかかわらず、不安定化や爆発が生じるか？
• RQ3 非粘性原始方程式で有限時刻爆発を引き起こす初期データのクラスは何か？
• RQ4 爆発挙動は、特異性の形成を保ったまま低次元系に還元可能か？
• RQ5 爆発プロファイルの正確な構造は何か？そして、それはどの時刻に発生するか？

主な発見

• 特定の初期データのクラスに対して、非粘性原始方程式の対応する滑らかな解は、具体的には t = 1 で爆発する。
• 爆発は垂直速度成分の正則性の喪失に起因し、t が 1 に近づくにつれて 1/(1−t) のオーダーで増大する。
• 非線形常微分方程式を用いたゼロディリクレ境界条件を満たす明示的特異解を構成することで、二次元系への還元により爆発が証明された。
• エネルギー推定とグローヴァルの不等式を用いて、削減された方程式の解の一意性が確立され、爆発が非一意性の結果ではないことが保証された。
• 爆発解は1パラメータ族として構成され、中間面で正負のプロファイルを接合することで符号変化する解を形成できる。
• コリolis力が存在しない場合でも結果は成り立つため、爆発は回転効果ではなく、非線形水圧および対流項によって駆動されていることが示された。