[論文レビュー] Finite-time stabilization in optimal time of homogeneous quasilinear hyperbolic systems in one dimensional space

Hoài-Minh Nguyên, Jean‐Michel Coron|arXiv (Cornell University)|May 4, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 21被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、片側制御および非線形境界条件を有する1次元の同次的準線形双曲型系に対して、有限時間安定化を最適時間で達成する時間に依存しないフィードバック制御を提示する。補助的ダイナミクスを導入し、特性法を活用することで、局所的適切性を確立し、初期データが十分に小さい場合に解が時間 T > T_opt で恒等的に消えることを証明する。非退化性条件 ∇B(0) を満たす境界写像のもとで、最適制御時間 T_opt = max{τ_k+1, τ_k + τ_m+1} を達成する。

ABSTRACT

We consider the finite-time stabilization of homogeneous quasilinear hyperbolic systems with one side controls and with nonlinear boundary condition at the other side. We present time-independent feedbacks leading to the finite-time stabilization in any time larger than the optimal time for the null controllability of the linearized system if the initial condition is sufficiently small. One of the key technical points is to establish the local well-posedness of quasilinear hyperbolic systems with nonlinear, non-local boundary conditions.

研究の動機と目的

• 準線形双曲型系に片側制御を適用し、最適時間 T_opt で有限時間安定化を達成すること。
• 非線形的かつ非局所的な境界条件を有する準線形双曲型系の局所的適切性を確立すること。
• 初期データが小さい場合に任意の T > T_opt で安定化する時間に依存しないフィードバック則を構成すること。
• 与えられた条件下で T_opt をさらに短くできないことを示すことにより、T_opt の最適性を証明すること。
• バックステッピング手法を非局所的・非線形境界ダイナミクスを有する準線形系へ拡張すること。

提案手法

• 境界条件の整合性を満たすために、元の系に制約を課さずに、(4m個の追加状態変数を有する)補助的ダイナミクスを導入する。
• 特性曲線を用いて再帰的にフィードバック則を構築し、右端の変数から始めて時間遅れを介して時間的に後退的に伝播させる。
• 特性法を用いて境界状態の影響を時間的に遡行し、x=1における必要なフィードバックを決定する。
• 特性軌道によって定まる点における状態に依存する関数 M_i を含む非線形フィードバック構造を採用する。
• フィードバック変数 ζ_j および η_j の動的拡張を、非線形減衰項を有するODEにより実装し、滑らかさと収束性を保証する。
• 連続性の議論と陰関数定理を用いて、補助的ダイナミクスの初期条件の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形境界条件を有する準線形双曲型系に対して、最適時間内に有限時間安定化を達成できるか。
• RQ2 境界写像 B にどのような条件が課されると、最適時間 T_opt が時間に依存しないフィードバックによって達成可能になるか。
• RQ3 元の系に直接制約を課さずに、x=1における整合性条件をどのように満たせるか。
• RQ4 補助的ダイナミクスが適切性および有限時間安定化を可能にする役割は何か。
• RQ5 バックステッピングフレームワークは、非局所的かつ非線形境界条件を有する準線形系へ拡張可能か。

主な発見

• 任意の T > T_opt に対して、初期データが十分に小さい限り、時間に依存しないフィードバック制御が存在し、有限時間 T で系を安定化する。
• m ≥ k のとき T_opt = max{τ_k+1, τ_k + τ_m+1}、m < k のとき T_opt = max{τ_k+1−m + τ_k+1, ..., τ_k + τ_k+m} で与えられる。
• フィードバック則は適切に定義されており、閉ループ系の C1 解を生成し、有限時間安定性を保証する。
• 整合性条件を満たすために補助的ダイナミクスに依存しており、元の状態に直接制約を課さない。
• ∇B(0) ∈ B の条件下で、時間 T > T_opt において系は正確にゼロ状態に達し、任意の x ∈ [0,1] に対して w(T, ·) = 0 となる。
• 与えられた仮定のもとで、T_opt より小さい時間では安定化が達成できないことを示すことにより、T_opt の最適性が確認される。