[論文レビュー] Finite-time thermodynamic uncertainty relation do not hold for discrete-time Markov process

Naoto Shiraishi|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2017

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 6被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、連続時間のマーカフ跳躍過程において成り立つ有限時間の熱力学的不確実性関係が、離散時間のマルコフ連鎖に拡張されないことを示している。2状態系に2つの遷移経路を設け、電流の揺らぎとエントロピー生成を解析的に計算することで、特定のパラメータにおいて不確実性関係が破られる例を提示し、関係式の有効性が連続時間に強く依存しており、離散時間の力学に一般化できないことを証明している。

ABSTRACT

Discrete-time counterpart of thermodynamic uncertainty relation (conjectured in P. Pietzonka, et.al., arXiv:1702.07699 (2017)) with finite time interval is considered. We show that this relation do not hold by constructing a concrete counterexample to this. Our finding suggests that the proof of thermodynamic uncertainty relation with finite time interval, if true, should strongly rely on the fact that the time is continuous.

研究の動機と目的

• 連続時間のマーカフ跳躍過程において有効である有限時間の熱力学的不確実性関係が、離散時間のマルコフ連鎖に対しても成り立つかを調査すること。
• 連続時間と離散時間の確率的力学の間で、熱力学的不確実性関係の有効性に影響を及ぼす根本的な相違を特定すること。
• 離散時間系において不確実性関係が破綻することを示す明確な反例を構築すること。
• フラクチュエーション定理や離散時間の技術に依存する証明が、連続時間の不確実性関係を確立できないこと、なぜならこれらの手法は両者に同じように適用可能であるため。

提案手法

• 時間積分量と遷移率を段階数と遷移確率に置き換えることで、熱力学的不確実性関係の離散時間版を形式化すること。
• パラメータyでパrameter化された異なる遷移確率を持つ2つの独立した遷移経路を有する2状態マルコフ連鎖を定義すること。
• 定常分布、1ステップあたりのエントロピー生成率、および経路1を介したAからBへの遷移における平均電流を計算すること。
• X=1, 0, -1の確率を正確に用いて、t=2ステップにおける時間積分電流Xの分散を計算すること。
• 不確実性関係の左辺である (Var[X] × σ) / (J² × t) を評価し、下限値2と比較すること。
• 不等式が破られるパラメータ範囲（特に3 ≤ y ≤ 3.21067）を特定し、これにより離散時間版が反証されることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続時間のマーカフ跳躍過程に対して導出された有限時間の熱力学的不確実性関係は、離散時間のマルコフ連鎖に対しても成り立つか？
• RQ2 同じ熱力学的制約を満たすにもかかわらず、不確実性関係が破綻する離散時間系における反例を構築できるか？
• RQ3 時間の連続性が熱力学的不確実性関係の有効性に果たす役割は何か？
• RQ4 フラクチュエーション定理や関連技術は、離散時間設定において不確実性関係を証明するのに十分か？
• RQ5 なぜ、連続時間系に適用された既存の証明が、離散時間のマルコフ連鎖に適用すると失敗するのか？

主な発見

• t=2およびy ∈ [3, 3.21067]の範囲で、離散時間版の熱力学的不確実性関係が破綻しており、左辺は(3 - 5/y) × 2 × ln 2 < 2として評価される。
• 電流の分散はVar[X] = (3y - 5)/y²、1ステップあたりのエントロピー生成率はσ = (1/y) × ln 2である。
• 平均電流はJ = 1/(2y)であり、積(Var[X] × σ) / (J² × t)は(3 - 5/y) × 2 × ln 2として評価され、y ≤ 3.21067の範囲で2未満となる。
• 反例は明示的に、定常状態下でも不確実性関係が離散時間のマルコフ連鎖では成り立たないことを示している。
• 破綻の結果、有限時間の不確実性関係の一般的証明は、連続時間の力学に特有の性質に依存しなければならない。
• この結果は、フラクチュエーション定理などの両者に共通する手法を用いて、元の不確実性関係を証明することは不可能であることを排除する。