[論文レビュー] Finite volume calculation of $K$-theory invariants

Terry A. Loring, Hermann Schulz‐Baldes|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2017

Topological Materials and Phenomena参考文献 24被引用数 28

ひとこと要約

本稿では、格子上のフレドホルム作用素から構成される有限次元行列であるスペクトル局在子を導入し、signature や Pfaffian を用いて、奇数のチーン数や $\mathbb{Z}_2$ 不変量などの $K$-理論的不変量を計算する。この手法により、微分幾何学的構造が存在しない系、例えばトポロジカルインシュレータにおいても、数値的にトップロジカル不変量を計算可能となる。

ABSTRACT

Odd index pairings of $K_1$-group elements with Fredholm modules are of relevance in index theory, differential geometry and applications such as to topological insulators. For the concrete setting of operators on a Hilbert space over a lattice, it is shown how to calculate the resulting index as the signature of a suitably constructed finite-dimensional matrix, more precisely the finite volume restriction of what we call the spectral localizer. In presence of real symmetries, secondary $\mathbb{Z}_2$-invariants can be obtained as the sign of the Pfaffian of the spectral localizer. These results reconcile two complementary approaches to invariants of topological insulators.

研究の動機と目的

• トポロジカルインシュレータにおいて、奇数のチーン数などの $K$-理論的不変量を計算する有限次元的手法を開発すること。
• $K$-理論的インデックスペアリングと有限体積数値計算という、二つの補完的アプローチを統合すること。
• 実対称性を有する系へこの手法を拡張し、スペクトル局在子の Pfaffian を用いて二次的 $\mathbb{Z}_2$ 不変量を計算できることを示すこと。
• 無限次元のフレドホルムインデックス理論に代わる、基本的な関数解析のみを用いた数値的に取り扱いやすい代替手法を提供すること。
• $d=1$ の場合に、スペクトルフローと $\eta$-不変量の間の厳密な関係を確立し、本手法の解析的妥当性を裏付けること。

提案手法

• 無限大のディラック作用素と可逆作用素 $A$ を有限格子体積に制限することで、スペクトル局在子を有限次元行列として構成する。
• 離散フーリエ変換を用いて、トーラス $\mathbb{T}^d$ 上の問題を $\ell^2(\mathbb{Z}^d)$ に写像し、ここでディラック作用素は $D = \sum_{j=1}^d \Gamma_j X_j$ に変換される。
• 局在性条件 $\|[D,A]\| < \infty$ の下で有界性を保証するように、$\kappa X$、$A$ 及びそれらの随伴を含むブロック行列としてスペクトル局在子 $L_\kappa$ を定義する。
• 十分に大きな $\kappa$ に対して、$\Pi A \Pi + (\mathbf{1} - \Pi)$ のフレドホルムインデックスがスペクトル局在子 $L_\kappa$ の signature に等しいことを示す。
• 実対称性を有する系では、スペクトル局在子の Pfaffian の符号として二次的 $\mathbb{Z}_2$ 不変量を計算する。
• スペクトルフローと $\eta$-不変量のホモトピー不変性を用いて、有限体積での signature が系サイズが大きくなる極限で真のインデックスに収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $K_1$-類とハードィ射影とのペアリングにおけるフレドホルムインデックスが、有限次元行列を用いて数値的に計算可能か。
• RQ2 スムーズな微分構造が存在しない状況下で、スペクトル局在子は古典的な奇数チーン数の公式とどのように関係するか。
• RQ3 時間反転対称性や粒子-ホール対称性を有する系へ、この手法を拡張して $\mathbb{Z}_2$ 不変量を計算可能か。
• RQ4 スペクトルフローは、$\eta$-不変量と有限体積でのスペクトル局在子の signature をどのように結びつけるか。
• RQ5 局在性バウンド $\|[D,A]\| < \infty$ は、スペクトル局在子によるインデックスの正しく計算するための十分かつ必要条件か。

主な発見

• 十分に大きな $\kappa$ に対して、$\Pi A \Pi + (\mathbf{1} - \Pi)$ のフレドホルムインデックスはスペクトル局在子 $L_\kappa$ の signature に等しくなる。これにより、$K$-理論的インデックスの有限次元的計算が可能となる。
• $d=1$ の場合、シフト作用素 $S^n$ に関連するパス $\lambda \mapsto L_\kappa(\lambda)$ のスペクトルフローは正確に $n$ に等しく、インデックスが $n$ であることを確認する。
• 局在性バウンドが一様に成り立つ限り、スペクトル局在子の $\eta$-不変量はホモトピーに対して一定であり、有限体積での signature の安定性が保証される。
• 実対称性が存在する場合、スペクトル局在子を用いて $\mathbb{Z}_2$ 不変量を Pfaffian の符号として計算可能である。
• 本手法はホモトピーに対して安定であり、古典的微分構造が存在しない場合でも、トップロジカル不変量を数値的に安定して計算可能である。
• $\|\,[D,A]\| \leq \kappa^{-1}$ のバウンドが、最適に近いことが示されており、スペクトルフローが $\kappa \geq \|[D,A]\|^{-1}/2$ でなければ消えないことから、その近似性が裏付けられている。