[論文レビュー] Finite volume form factors and correlation functions at finite temperature

Balázs Pozsgay|ArXiv.org|Jul 24, 2009

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 4被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、可解な1+1次元量子場理論における有限体積フォーム因子フレームワークを構築し、密度因子を介して有限体積行列要素を無限体積フォーム因子に結びつける。低温における熱相関関数の体系的展開を提供し、非連結寄与の取り扱いを正しく行うことで、先行研究における不一致を解消し、1次オーダーではLeClair-Mussardoの公式を確認するとともに、発散の不適切な正則化に起因する高次項における不一致を特定する。

ABSTRACT

In this thesis we investigate finite size effects in 1+1 dimensional integrable QFT. In particular we consider matrix elements of local operators (finite volume form factors) and vacuum expectation values and correlation functions at finite temperature. In the first part of the thesis we give a complete description of the finite volume form factors in terms of the infinite volume form factors (solutions of the bootstrap program) and the S-matrix of the theory. The calculations are correct to all orders in the inverse of the volume, only exponentially decaying (residual) finite size effects are neglected. We also consider matrix elements with disconnected pieces and determine the general rule for evaluating such contributions in a finite volume. The analytic results are tested against numerical data obtained by the truncated conformal space approach in the Lee-Yang model and the Ising model in a magnetic field. In a separate section we also evaluate the leading exponential correction (the $μ$-term) associated to multi-particle energies and matrix elements. In the second part of the thesis we show that finite volume factors can be used to derive a systematic low-temperature expansion for correlation functions at finite temperature. In the case of vacuum expectation values the series is worked out up to the third non-trivial order and a complete agreement with the LeClair-Mussardo formula is observed. A preliminary treatment of the two-point function is also given by considering the first nontrivial contributions.

研究の動機と目的

• 可解な量子場理論における有限体積フォーム因子を一貫して計算するためのフレームワークを確立すること。
• 特に発散する非連結寄与に関する問題を解消することにより、従来の熱相関関数の取り扱いにおける不整合を解消すること。
• 有限体積行列要素を用いて、1点関数および2点関数の低温展開を導出すること。
• 有限サイズ補正および正則化を体系的に分析することで、既存の提案（特にLeClair-Mussardo）を検証または是正すること。
• 密度因子を介して有限体積スペクトルを無限体積フォーム因子に結びつけることで、フォーム因子プログラムを有限温度設定に拡張すること。

提案手法

• 1+1次元可解モデルにおけるBethe-Yangの量子化および正確なS行列ブートストラップを用いて、有限体積フォーム因子を定式化する。
• スケーリング・リー＝ヤン模型および磁場中のイジング模型において、数値的にフォーム因子を計算するために、切断された conformal 表空間法（TCSA）を適用する。
• 自由理論の密度ではなく、相互作用を考慮した粒子密度 ρ(n) を用いて、局所演算子の有限体積行列要素を無限体積フォーム因子に結びつける。
• スペクトル表現を用いて、熱相関関数の低温展開を実行し、発散する非連結項を正則化することで慎重に取り扱う。
• 得られた展開をLeClair-MussardoおよびDelfinoの提案と比較し、以前の研究における不適切な正則化に起因する不一致を特定する。
• 体積 L を発散を制御する正則化子として用い、L の正のべき乗項が正確に相殺されることを示し、有限な物理的結果が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 発散する非連結寄与が生じる状況において、可解な1+1次元QFTにおける有限体積フォーム因子を一貫して計算する方法は何か？
• RQ2 正しい低温展開は、1点関数および2点関数の熱相関関数にどのように適用されるか。また、既存の提案と比較してどう異なるか？
• RQ3 従来の熱相関関数の取り扱いが高次にまで失敗する理由は何か。どのような正則化スキームがこれらの問題を解消するか？
• RQ4 LeClair-Mussardoの公式はどの程度有効であり、発散の不適切な取り扱いに起因する不一致はどこに現れるか？
• RQ5 非対角散乱理論および質量ゼロのモデルに、有限体積フォーム因子プログラムを一般化することは可能か？

主な発見

• 本稿は、従来の熱相関関数の提案が、e^{-2mR} 以降のオーダーで失敗している理由を、非連結寄与の正則化が不適切であることに起因することを特定し、相互作用を考慮した密度 ρ(n) を用いることでこれを是正することを示した。
• 1点関数の1次オーダー低温展開はLeClair-Mussardoの公式と一致し、このオーダーでの有効性を確認した。
• 2点関数の1次オーダー計算もLeClair-Mussardoのアプローチと一致し、その一貫性を裏付ける新しい未発表の結果を提供した。
• L に依存する項（L の正のべき乗）の相殺は本質的であり、正確に発生することが示され、正則化後に有限な物理的結果が得られることを保証した。
• このフレームワークは、行列要素および相関関数の正しい有限サイズ補正を再現でき、リー＝ヤン模型およびイジング模型における既知の正確な結果と整合することを示した。
• 有限体積フォーム因子が、正確な有限体積フォーム因子が既知であれば、ユークリッド回転を介して熱相関関数を計算するために使用可能であることを確立した—一般のモデルではTBAに類似した方程式の必要性を強調した。