[論文レビュー] Finitely generated subgroups of lattices in PSL(2,C)

Yair Glasner, Juan Souto+1 more|ArXiv.org|Apr 21, 2005

semigroups and automata theory参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、PSL(2,ℂ)における格子の任意の有限生成部分群が、非自明な正規部分群の陪集合を基底とする、より細かい位相（pro-normal 位相）において閉じていることを確立している。主な結果は、このような部分群が閉じているだけでなく、無限大指数の場合には、それらを真に含む開部分群の共通部分集合でもあるということであり、その系として、無限大指数の極大部分群またはpro-稠密部分群は有限生成であってはならない、という結論が得られる。

ABSTRACT

Let G be a lattice in PSL(2,C). The pro-normal topology on G is defined by taking all cosets of non-trivial normal subgroups as a basis. This topology is finer than the pro-finite topology, but it is not discrete. We prove that every finitely generated subgroup H

研究の動機と目的

• PSL(2,ℂ)における格子内の有限生成部分群の位相的閉包性質を調査すること。
• 非自明な正規部分群を基底として用いることにより、このような格子におけるpro-normal 位相を定義し、その分析を行うこと。
• すべての有限生成部分群がこの位相において閉じていることを確立し、既知のpro-finite 位相における結果を拡張すること。
• PSL(2,ℂ)の格子における極大またはpro-稠密部分群の有限生成性に関する予想的問題を解決すること。

提案手法

• 格子 Γ < PSL(2,ℂ) に対して、すべての非自明な正規部分群の族を用いて、単位元の近傍の開基としてpro-normal 位相を定義する。
• 最近解決されたマーデン予想を用いて、特に幾何的有限および幾何的無限部分群の幾何的構造を分析する。
• 無限大指数の幾何的有限部分群 Δ に対して、半直積における一意因数分解と残余有限性を用いて背理法により Δ = ∩{ΔN | N ◁ Γ, N ⊄ Δ} を証明する。
• 幾何的無限部分群については、有限指数の正規部分群を介して商に還元し、残余有限群におけるpro-finite 位相で有限部分群が閉じているという事実を用いる。
• 証明で用いる正規部分群を特徴的（characteristic）に選べることを保証することで、結果がより粗いpro-characteristic 位相に対しても成り立つことを示す。
• PSL(2,ℂ)における格子の線形性およびZariski稠密性を活用し、正規部分群が自明に交わる場合にZariski閉包における可換性から矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PSL(2,ℂ)における格子のすべての有限生成部分群は、pro-normal 位相において閉じているか？
• RQ2 PSL(2,ℂ)における格子の無限大指数の極大部分群が有限生成可能か？
• RQ3 PSL(2,ℂ)における格子のpro-稠密部分群（pro-normal 位相で稠密）が有限生成可能か？
• RQ4 このような格子におけるpro-normal 位相は、無限大指数部分群に対してpro-finite 位相よりも強い閉包性質をもたらすか？
• RQ5 有限生成部分群のpro-normal 位相における閉包は、それより真に大きい開部分群の共通部分集合として特徴づけられるか？

主な発見

• PSL(2,ℂ)の格子 Γ における任意の有限生成部分群 Δ < Γ は、pro-normal 位相において閉じている。
• Δ が Γ において無限大指数であるとき、Δ はそれより真に大きい開部分群の共通部分集合に一致する。
• このような格子における無限大指数の極大部分群は有限生成であってはならない。
• PSL(2,ℂ)の格子におけるpro-稠密部分群は有限生成であってはならない。
• この結果は、pro-normal 位相に限らず、より粗いpro-characteristic 位相に対しても成り立つ。
• 証明はマーデン予想の解決および双曲的3-軌道体とその基本群の幾何的・代数的構造に依存している。