[論文レビュー] Finiteness of Hofer-Zehnder symplectic capacity of neighborhoods of symplectic submanifolds

Guangcun Lu|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、最小結合手続きと擬シンプレクティック容量理論を用いて、シンプレクティック多様体内の閉じたシンプレクティック部分多様体が、有限なπ₁感受性ホーファー＝ツェンダーのシンプレクティック容量を持つ開近傍をもつことを証明している。その結果、ワイナーベル予想がそのような部分多様体の近傍で確認される。

ABSTRACT

In this paper we use the minimal coupling procedure by Sternberg and Weinstein and our pseudo-symplectic capacity theory to prove that every closed symplectic submanifold in any symplectic manifold has an open neighborhood with finite (π1sensitive) Hofer-Zehnder symplectic capacity. Consequently, the Weinstein conjecture holds near closed symplectic submanifolds in any symplectic manifold. 1 Introduction and

研究の動機と目的

• 閉じたシンプレクティック部分多様体の近傍におけるπ₁感受性ホーファー＝ツェンダーのシンプレクティック容量の有限性を確立すること。
• 閉じたシンプレクティック部分多様体の近傍で有効であることを示すことにより、ワイナーベル予想をより広い幾何的文脈で解決すること。
• シュテルンバーグとワイナーベルの最小結合手続きを応用し、チューブ型近傍におけるシンプレクティック構造を構成すること。
• 擬シンプレクティック容量理論をシンプレクティック部分多様体に拡張し、その容量の有限性に有効であることを示すこと。
• 周期的リーブ軌道の存在を保証する一般的な幾何的条件を提示し、ワイナーベル予想を支援すること。

提案手法

• 閉じたシンプレクティック部分多様体のチューブ型近傍にシンプレクティック構造を構成するために最小結合手続きを用いる。
• これらの近傍のホーファー＝ツェンダー容量を分析するために擬シンプレクティック容量理論を適用する。
• ホーファー＝ツェンダー容量のπ₁感受性を用いて、基本群における非自明な位相的性質を検出する。
• 最小結合を定義するために、正規バンドル上の接続と適合する almost complex 構造の存在に依存する。
• 最小結合によって構成されたシンプレクティック形式を用いて、ホーファー＝ツェンダー容量の上界を評価する。
• 近傍に台を持つハミルトニアン関数のホーファーノルムを制御することで、結果として得られる容量が有限であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック多様体内のすべての閉じたシンプレクティック部分多様体は、有限なホーファー＝ツェンダー容量を持つ近傍をもつか？
• RQ2 最小結合手続きを用いて、容量の有限性を保つような、シンプレクティック部分多様体の近傍におけるシンプレクティック構造を構成できるか？
• RQ3 ホーファー＝ツェンダー容量のπ₁感受性は、シンプレクティック部分多様体の近傍で周期的リーブ軌道の存在を保証するのに十分か？
• RQ4 擬シンプレクティック容量理論は、部分多様体の近傍にどの程度まで拡張可能であり、有限性の結果を導けるか？
• RQ5 このような近傍におけるホーファー＝ツェンダー容量の有限性は、この文脈でワイナーベル予想の有効性を示唆するか？

主な発見

• シンプレクティック多様体内の任意の閉じたシンプレクティック部分多様体は、有限なπ₁感受性ホーファー＝ツェンダーのシンプレクティック容量を持つ開近傍をもつ。
• 最小結合手続きは、有限容量を保つチューブ型近傍におけるシンプレクティック構造を効果的に構成できた。
• 擬シンプレクティック容量理論の応用により、部分多様体の幾何的データに基づいてホーファー＝ツェンダー容量を制御できるようになった。
• 容量の有限性は、近傍内に周期的リーブ軌道が存在することを示し、閉じたシンプレクティック部分多様体の近傍でワイナーベル予想が確認された。
• この結果は、次元や位相的性質に関係なく、すべてのシンプレクティック多様体に普遍的に成立する。
• π₁感受性の容量は、周期的軌道の存在に対する位相的障害を検出でき、結果が非自明であることを保証する。