[論文レビュー] Finiteness of p-Divisible Sets of Multiple Harmonic Sums

Jianqiang Zhao|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2003

Analytic Number Theory Research参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、多重調和和（MHS）のp進付値を調査し、任意の正の整数の列 𝔰 と素数 p に対して、H(𝔰;n) の部分和のうち、p-整数（すなわち、vₚ(H(𝔰;n)) ≥ 0）であるものの数が有限であると予想している。著者らは、dyadic区間 Gₜ におけるp進付値の増加に基づく新しい基準を用いて、特定の 𝔰 と p に対して、p-可除集合 J(𝔰|p) の有限性を証明し、密度予想に関するヒューリスティクスおよび計算的証拠を提示している：l=1 かつ s≥2 の場合、J(𝔰|p) が有限であるような素数 p の自然密度は 1/√e であり、l≥2 または l=s=1 の場合、1/e である。

ABSTRACT

\medskip oindent extbf{Résumé.} Soit $l$ un entier et $\ors=(s_1, \dots, s_l)$ une séquence d'entiers positifs. Dans ce document, nous étudierons les propriétés arithmétique de sommes harmoniques multiples $H(\ors; n)$, qui est le $n$-ème somme partielle de la valeur de la série multiple zeta $ζ(\ors)$. On conjecture que pour tout $\ors$ et de tous les premiers $p$, il n'y a que de nombreux finitely $p$-partie intégrante sommes $H(\ors,n)$. Ceci généralise une conjecture de Eswarathasan et Levine et Boyd pour la série harmonique. Nous fournissons beaucoup d'éléments de preuve pour cette conjecture générale ainsi que certaines heuristiques argument soutenir. Ce document fait suite à \emph{Wolstenholme Type Theorem for multiple harmonic sums}, Intl.\ J.\ of Number Theory extbf{4}(1) (2008) 73-106.

研究の動機と目的

• 調和級数に関するEswarathasanとLevineの予想を、多重調和和（MHS）に一般化すること。
• 固定された 𝔰 に対して、変化する n における部分和 H(𝔰;n) のp進整数性を調査すること。
• p-可除集合 J(𝔰|p) の有限性を示す基準を確立すること。ここで J(𝔰|p) は {n : vₚ(a(𝔰;n)) ≥ 0} と定義され、H(𝔰;n) = a(𝔰;n)/b(𝔰;n) である。
• J(𝔰|p) が有限であるような素数 p の自然密度に関する、予想された密度のヒューリスティクス的および計算的証拠を提供すること。

提案手法

• p-可除集合 J(𝔰|p) を、H(𝔰;n) の分子が p で割り切れるインデックス n の集合として定義する。
• dyadic区間 Gₜ = {n : p^{t-1} ≤ n < p^t} を導入し、H(𝔰;n) のp進付値の増加を分析する。
• 基準を提案する：ある τ > t₀ に対して f(𝔰,p;τ) > (|𝔰|−m)(τ−1)−m が成り立つならば、J(𝔰|p) は有限である。ここで m = min{sᵢ} であり、f(𝔰,p;t) = min{−vₚ(H(𝔰;n)) : n ∈ Gₜ} である。
• Wolstenholme型定理および同次MHSのp進付値推定を用いて、境界を導出する。
• H(𝔰;n) が mod p で一様に分布すると仮定する確率的ヒューリスティクスを適用し、J(𝔰|p) が有限であるような素数 p の密度を推定する。
• 広範な計算データおよびオンライン補足資料を用いて、予想を支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の固定された正の整数の列 𝔰 と素数 p に対して、H(𝔰;n) が p-整数であるようなインデックス n の集合は有限か？
• RQ2 dyadic区間におけるp進付値の振る舞いに基づいて、J(𝔰|p) が有限であるかどうかを判定する一般基準を定式化できるか？
• RQ3 J(𝔰|p) が有限であるような素数 p の自然密度は何か？ これは l（長さ）および |𝔰|（重み）にどのように依存するか？
• RQ4 J(𝔰|p) 及びその逆数部分集合 RJ(𝔰;p) の構造は、不規則素数および p の数論的性質とどのように関係するか？
• RQ5 J₁(𝔰|p) = {(p−1)/2, p−1} または J₁(𝔰|p) = {p−1} となるような無限個の素数 p が存在するか？ これは不規則対に何を意味するか？

主な発見

• 𝔰 = (1,1) かつ p = 3, 7, 13, 31 の場合；𝔰 = (1,1,1) かつ p = 3 の場合；𝔰 = (1,1,2) かつ p = 7 の場合、p-可除集合 J(𝔰|p) は有限である。
• 定理2.1における基準により、特定の 𝔰 と p に対して、dyadic区間 Gₜ 内の最小p進付値の境界を用いて、J(𝔰|p) の有限性が証明された。
• l = 1 かつ s ≥ 2 の場合、J(s|p) が有限であるような素数 p の自然密度は、1/√e であると予想されている。
• l ≥ 2 または l = s = 1 の場合、同様の素数の自然密度は 1/e であると予想されている。
• ヒューリスティクス的議論により、p → ∞ のとき、J(𝔰|p) = RJ(𝔰;p) である確率は、l=1 かつ s≥2 の場合 1/√e、l≥2 の場合 1/e に近づくと示唆されている。これは一様分布の仮定に基づく。
• 予想7.8は、特定の J₁(𝔰|p) の集合が無限であるが疎であると主張しており、固定された奇数 w ≥ 5 に対して、無限個の不規則素数 (p, p−w) が存在することを示唆している。