[論文レビュー] Finiteness of étale fundamental groups by reduction modulo $p$

Bhargav Bhatt, Ofer Gabber+1 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、正の特性におけるエタール局所基本群の有界性から、特性 0 におけるエタール局所基本群の有限性を導くための広がり技術を確立する。多項式的有界性を持つ $p$-冪位数の $p$ と互いに素な商が十分であることを示すことにより、特異点が klt である場合のシュの有限性結果を、特性 $p$ の手法を用いて再証明し、構成可能性とプロフィニート群の基準を用いた、より初等的な証明を提供する。

ABSTRACT

We introduce a spreading out technique to deduce finiteness results for étale fundamental groups of complex varieties by characteristic $p$ methods, and apply this to recover a finiteness result proven recently for local fundamental groups in characteristic $0$ using birational geometry.

研究の動機と目的

• 特性 0 におけるエタール基本群の有限性を、正の特性における有界性から導く一般的手法を確立すること。
• 特性 $p$ の手法を用いて、特性 0 における klt 特異点のシュの有限性結果を再証明すること。
• 構成可能性と広がりの技術を活用し、klt 特異点の局所エタール基本群の有限性に対して、新しい初等的証明を提供すること。
• 特異点制約なしの算術的族におけるターミナル局所基本群の構成可能性結果を開発すること。
• 準射影的仮定を避けるガロア理論的証明を用いて、有限性結果のグローバル版を示すこと。

提案手法

• 複素数体上のスキームを $\mathbf{Z}$-代数 $A$ に広げ、$p$ を法として還元可能にする広がり技術を導入する。
• 定理 1.2 を用いて、正の特性 $p$ において、$\pi_1^{\text{loc}}(X_{\bar{y}},x_{\bar{y}})$ の $p$ と互いに素な商が $p^{c}$ で有界であれば、特性 0 における $\pi_1^{\text{loc}}(X,x)$ の有限性が導かれる。
• 定理 4.1 におけるターミナル局所基本群の構成可能性結果を用いて、算術的族におけるファイバー間の基本群の振る舞いを制御する。
• プロフィニート群の抽象的有限性基準（命題 5.1）を用いて、正の特性における有界性を特性 0 における有限性に結びつける。
• klt 特異点が特性 0 で定義されると、正の特性において強く $F$-正則特異点に特殊化され、その場合の有限性は既知であることを活用する。
• 文献 [PT] の $F$-シグネチャの下界を用いて、$d = \dim X_{\mathbf{C}}$ に対して $\#\pi_1^{\text{loc}}(X_{\bar{y}},x_{\bar{y}}) \leq p^{d}$ という必要な多項式的有界性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性 0 におけるエタール局所基本群の有限性は、$p$ を法とした還元における有界性から導けるか？
• RQ2 正の特性における局所エタール基本群の $p$ と互いに素な商に多項式的有界性 $p$ を課すことで、特性 0 における有限性が保証されるか？
• RQ3 klt 特異点の有限性結果を、正の特性の手法と広がり技術のみを用いて再証明できるか？
• RQ4 算術的族におけるターミナル局所基本群の振る舞いはいかなるものか？特異点仮定なしに構成可能性を示せるか？
• RQ5 準射影的仮定や層の分離を用いないガロア理論的証明を、グローバル有限性結果に対して与えられるか？

主な発見

• 定理 1.2 は、正の特性のファイバーにおいて、局所エタール基本群の $p$ と互いに素な商が $p^c$ で有界であれば、特性 0 における局所基本群が有限であることを確立する。
• 本稿は、特性 $p$ の手法のみを用いて、特性 0 における klt 特異点の $\pi_1^{\text{loc}}(X,x)$ の有限性を再証明する。
• 特異点仮定なしに成り立つ算術的族におけるターミナル局所基本群の構成可能性結果（定理 4.1）が証明される。
• 命題 5.1 における有限性基準により、多項式的成長を伴う正の特性における有界性から、プロフィニート群の有限性を導ける。
• 強い $F$-正則特異点において、$d = \dim X_{\mathbf{C}}$ に対して $\#\pi_1^{\text{loc}}(X_{\bar{y}},x_{\bar{y}}) \leq p^d$ が、大きな正の特性において確立される。
• 定理 1.5 におけるグローバル有限性結果に対して、準射影的仮定を避けるガロア理論的証明が与えられる。