[論文レビュー] Finiteness Properties of Chevalley Groups over the Ring of (Laurent) Polynomials over a Finite Field

Stefan Witzel|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、有限体上のローレンツ多項式環上のチーガルリー群の有限性性質を、球面的ビルディング上の単体的モース理論を用いて確立する。このような群が型F∞に属することを証明し、多項式環における既知の結果を拡張し、関数体上の算術群の研究における重要なケースを解決する。

ABSTRACT

A group G is of type F_n if there is a K(G,1) complex that has finite n-skeleton. The property F_1 is equivalent to being finitely generated and the property F_2 is equivalent to being finitely presented. The finiteness length of G is the maximal n for which G is of type F_n if it exists and is infinite otherwise. A rich source of groups with finite finiteness length consists of S-arithmetic groups in positive characteristic, that is, groups of the form H(O_S) where H is an algebraic group defined over a global function field k and O_S is the ring of S-integers for a finite set S of places of k. In this thesis we determine the finiteness length of the groups H(O_S) where H is an F_q-isotropic, connected, noncommutative, almost simple F_q-group and O_S is one of F_q[t], F_q[t^{-1}], and F_q[t,t^{-1}]. That is, k = F_q(t) and S contains one or both of the places s_0 and s_∞ corresponding to the polynomial p(t) = t respectively to the point at infinity. The statement is that the finiteness length of H(O_S) is n-1 if S contains one of the two places and is 2n-1 if it contains both places, where n is the F_q-rank of H. For example, the group SL_3(F_q[t,t^{-1}]) is of type F_3 but not of type F_4, a fact that was previously unknown.

研究の動機と目的

• 有限体Fq上のローレンツ多項式環上のチーガルリー群の有限性性質を特定すること。
• 関数体設定における算術群の有限性性質に関する既知の結果を拡張すること。
• これらの群が型F∞に属することを確立すること、すなわち、すべてのnに対してコンパクトなn次元スケルトンを持つ分類空間をもつこと。
• 下降リンクを分析するために、球面的ビルディング上に新しいモース理論的枠組みを構築・適用すること。
• 分岐群G(Fq[t, t⁻¹])の有限性長を解明し、関数体上の算術群理論における重要なケースを完成させること。

提案手法

• 球面的ビルディングの幾何学を用いて、群G(Fq[t, t⁻¹])が有限安定化群をもつ可縮なCW複体Xを構成する。
• ビルディング上に高さ関数を導入し、Xをコンパクトな部分複体のフィルトレーションに分ける。
• 単体的モース理論を適用して高さ関数の下降リンクを分析し、その連結性を証明する。
• 角度基準と平坦セル構造を用いて、部分レベル集合の位相を制御する。
• ゾノトープと距離的共距離を用いて、アフィンビルディングの文脈で高さ関数を定義・分析する。
• ブラウンの有限性性質の基準を適用し、フィルトレーションが無限にまでn連結性を保つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体Fq上のローレンツ多項式環上の分岐チーガルリー群Gに対して、その有限性長φ(G(Fq[t, t⁻¹]))は何か？
• RQ2 Fq(t)およびFq((t))上の球面的ビルディングの幾何学的・組合せ的構造は、下降リンクが制御可能なモース関数の構成をどのように支援するか？
• RQ3 単体的モース理論は、G(Fq[t, t⁻¹])が型F∞に属することを証明するために効果的に適用可能か？
• RQ4 平坦セルとゾノトープは、高さ関数の定義および部分レベル集合の位相解析において果たす役割は何か？
• RQ5 Fq(t)およびFq((t))のツインビルディングの構造は、群の有限性性質の解析をどのように支援するか？

主な発見

• 任意の有限体Fq上の分岐チーガルリー群Gに対して、群G(Fq[t, t⁻¹])は型F∞に属する。
• G(Fq[t, t⁻¹])の有限性長は無限大であり、これはすべてのnに対してコンパクトなn次元スケルトンを持つ分類空間をもつことを意味する。
• モース関数の下降リンクがすべてのnに対して(n−1)連結であることが示され、ブラウンの基準を満たす。
• 高さ関数は距離的共距離とゾノトープを用いて構成され、部分レベル集合の位相を制御可能となる。
• 証明は角度基準と平坦セル分解を用いて、必要な方法でフィルトレーションが連結性を保つことを保証する。
• この結果は、G(Fq[t])に関する以前の結果を一般化し、関数体設定におけるローレンツ多項式環上のチーガルリー群の理論を完成させる。