[論文レビュー] Finiteness theorems for commuting and semiconjugate rational functions

Fedor Pakovich|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2016

Functional Equations Stability Results参考文献 23被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、固定された2次以上の有理関数 $B$ に対して、半共役性方程式 $A \circ X = X \circ B$ を満たす有理関数 $A$ と $X$ についての有限性定理を確立する。$B$ がラッティーズ写像でも $z^{\pm d}$ や $\pm T_d$ に共役でもない限り、解の数はモビウス変換と $B$ の反復に関して有限であり、その数と次数は $\deg B$ のみに依存する上限を持つ。これはリットの可換有理関数に関する定理の有効版をもたらす。

ABSTRACT

Let $B$ be a fixed rational function of one complex variable of degree at least two. In this paper, we study solutions of the functional equation $A\circ X=X\circ B$ in rational functions $A$ and $X$. Our main result states that, unless $B$ is a Lattès map or is conjugate to $z^{\pm d}$ or $\pm T_d$, the set of solutions is finite, up to some natural transformations. In more detail, we show that there exist finitely many rational functions $A_1, A_2,\dots, A_r$ and $X_1, X_2,\dots, X_r$ such that the equality $A\circ X=X\circ B$ holds if and only if there exists a Möbius transformation $μ$ such that $A=μ\circ A_j\circ μ^{-1}$ and $X=μ\circ X_j\circ B^{\circ k}$ for some $j,$ $1\leq j \leq r,$ and $k\geq 1$. We also show that the number $r$ and the degrees $°X_j,$ $1\leq j \leq r,$ can be bounded from above in terms of the degree of $B$ only. As an application, we prove an effective version of the classical theorem of Ritt about commuting rational functions.

研究の動機と目的

• 固定された2次以上の有理関数 $B$ に対して、関数方程式 $A \circ X = X \circ B$ を満たすすべての有理関数解 $A$ と $X$ を分類すること。
• このような解の集合が、モビウス共役や $B$ の反復に関して有限である条件を特定すること。
• $\deg B$ のみに依存する、解の数およびその次数に関する有効かつ計算可能な上限を提供すること。
• リットの古典的定理（可換有理関数）を、非特殊な $B$ に対して、反復 $X^{\circ l} = B^{\circ k}$ の上限を明示する有効版に拡張すること。

提案手法

• 本稿は、オーロイド理論およびオーロイド間の最小正則写像の理論を用いて、$A \circ X = X \circ B$ の解の構造を分析する。
• Lürothの定理を用いて $X$ と $B$ を共通の有理関数を通して因数分解することで、反復的プロセスにより次数を低下させ、原始的解の研究に帰着する。
• 特に、オーロイドのオイラー標数が0である有理関数の分類に関する複素力学の結果を応用し、$A$、$X$、$B$ の可能な形を制約する。
• 非特殊な $B$ に対して、モビウス共役および $B$ の反復に関して解の数が有限であり、その数と解の次数は $\deg B$ のみに依存する上限を持つことを証明する。
• 非特殊な $B$ に対して、任意の可換対 $X$ と $B$ は、ある $l,k \geq 1$ に対して $X^{\circ l} = B^{\circ k}$ を満たし、$\deg B = d$ のみに依存する計算可能な上限 $\delta(d)$ を用いて $l \leq \delta(d)$ を示す。
• 特殊な $B$（ラッティーズ写像、$z^{\pm d}$、$\pm T_d$）の場合、任意の可換な $X$ は $B$ と同じオーロイド構造を保存する必要があり、$X:\mathcal{O} \to \mathcal{O}$ はゼロオイラー標数のオーロイド間の被覆写像であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された2次以上の有理関数 $B$ に対して、モビウス共役および $B$ の反復に関して、$A \circ X = X \circ B$ を満たす有理関数 $A$ と $X$ はいくつ存在するか？
• RQ2 解の数は $\deg B$ のみに依存する上界で抑えられるか？ もしそうなら、その上限の性質は何か？
• RQ3 $B$ に対して、関数方程式 $A \circ X = X \circ B$ が自然な同値関係に関して有限個の解しか持たない条件は何か？
• RQ4 リットの古典的定理（可換有理関数）は、反復 $X^{\circ l} = B^{\circ k}$ の上限を明示する有効版に拡張可能か？
• RQ5 $B$ が特殊（ラッティーズ写像、$z^{\pm d}$、$\pm T_d$）であるとき、任意の可換な $X$ は $B$ と同じオーロイド構造を必ず保存するか？

主な発見

• 2次以上で非特殊な任意の有理関数 $B$ に対して、$A \circ X = X \circ B$ を満たす解 $(A,X)$ の集合は、モビウス共役および $B$ の反復に関して有限である。
• $A_1, \dots, A_r$ および $X_1, \dots, X_r$ が存在し、任意の解は、あるモビウス変換 $\mu$、添え字 $j$、$k \geq 1$ に対して $A = \mu \circ A_j \circ \mu^{-1}$ および $X = \mu \circ X_j \circ B^{\circ k}$ と表される。$r$ および $\deg X_j$ は $\deg B$ のみに依存する上限を持つ。
• 基本的解の数 $r$ および $\deg X_j$ は、$\deg B$ のみに依存する関数によって一様に上から抑えられる。
• $B$ が非特殊である場合、任意の可換対 $X$ と $B$ は、ある $l,k \geq 1$ に対して $X^{\circ l} = B^{\circ k}$ を満たし、$\deg B = d$ のみに依存する計算可能な関数 $\delta(d)$ が存在して $l \leq \delta(d)$ を満たす。
• 特殊な $B$ の場合、任意の可換な $X$ は $B$ と同じオーロイド構造を保存し、$X:\mathcal{O} \to \mathcal{O}$ はゼロオイラー標数のオーロイド間の被覆写像である。
• 証明により、$\mu \circ X$ が $B$ と可換となるモビウス変換 $\mu$ の数が有限であることが示され、これは自然な同値関係に関して解の有限性を示唆する。