[論文レビュー] Finsler Metrics of Constant Positive Curvature on the Lie Group $s^3$

David Bao, Zhongmin Shen|ArXiv.org|Nov 12, 2000

Advanced Differential Geometry Research参考文献 3被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、ホップファイブレーションから導かれる右不変リーマン計量とキリングベクトル場を用いて、各 $ K > 1 $ に対して、リー群 $ S^3 $ 上に明示的な非リーマン的ランダース計量の族を構成する。ベルワルドのスプライ曲率公式を直接用いて、これらの計量が一定正のフラッグ曲率 $ K $ を持つことを証明し、射影的に平坦でないフィン슬ァー空間形であることを示している。

ABSTRACT

Guided by the Hopf fibration, we single out a family (indexed by a positive constant K) of right invariant Riemannian metrics on the Lie group $S^3$. Using the Yasuda-Shimada theorem as an inspiration, we determine for each K>1 a privileged right invariant Killing field of constant length. Each such Riemannian metric pairs with the corresponding Killing field to produce a y-global and {\it explicit} Randers metric on $S^3$. Using the machinery of spray curvature and Berwald's formula for it, we prove directly that the said Randers metric has constant positive flag curvature K, as predicted by the Yasuda-Shimada theorem. We also explain why this family of Finslerian space forms is NOT projectively flat.

研究の動機と目的

• 各 $ K > 1 $ に対して、ヤスダ–シマダの定理の複雑な証明に依存せずに、$ S^3 $ 上に明示的かつ $ y $-グローバルなランダース計量を構成すること。
• このような計量が射影的に平坦でないことを示し、多くの既知のフィン슬ァー空間形とは区別されることを明らかにすること。
• ベルワルドのスプライ曲率公式を用いて、解析的かつ自己完結的な方法で一定フラッグ曲率を証明すること。既存の難解な証明に依存しない。
• マセムで記号的計算を用いて数値的検証を行い、解析的証明を実験的証拠で補強すること。
• ヤスダ–シマダの定理における一定フラッグ曲率のための4条件が、$ S^3 $ に対して空でないことを実証的に示すこと。

提案手法

• ホップファイブレーションを用いて、$ K > 1 $ をパrameterとする右不変リーマン計量の族を定義する。
• $ K > 1 $ に対して、一定長の特別な右不変キリング場を特定し、これをランダース構成における1形式として用いる。
• 計量 $ F = \alpha + \beta $ を構成する。ここで $ \alpha $ はリーマン計量、$ \beta $ はキリング場から導かれる1形式である。
• ランダース設定におけるスプライ曲率のベルワルドの公式を適用し、幾何的強力さを活かしてフラッグ曲率を計算する。
• マセムを用いた記号的および数値的計算により、スプライ曲率テンソル $ K^i_k $ が $ K^i_k = K F^2 (\delta^i_k - \frac{y^i}{F} F_{y^k}) $ を満たすことを確認する。これは一定フラッグ曲率 $ K $ の基準である。
• 比 $ K^i_k / (K \tau^i_k) $ の数値的評価を用いて、フラッグ曲率が一定であることを確認し、結果は常に1に非常に近い。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ S^3 $ 上に、非リーマン的かつ $ y $-グローバルなランダース計量を、一定正のフラッグ曲率 $ K > 1 $ を満たすように明示的に構成できるか？
• RQ2 このような計量は射影的に平坦でないのか。これにより、ブライアントの既知の例とは区別されるか？
• RQ3 ベルワルドのスプライ曲率公式を用いて、ヤスダ–シマダの元の証明に依存せずに、自己完結的かつ直接的に一定フラッグ曲率を証明できるか？
• RQ4 ヤスダ–シマダの定理における一定フラッグ曲率のための4条件は、$ S^3 $ に適用した際に空でないか？
• RQ5 マセムにおける数値的計算は、一定フラッグ曲率の解析的主張を強く支持する証拠を提供できるか？

主な発見

• 各 $ K > 1 $ に対して、$ S^3 $ 上に一意の右不変ランダース計量が構成され、そのフラッグ曲率は一定正の値 $ K $ をとる。
• 構成された計量は射影的に平坦でない。これは、任意の座標系において測地線が直線でないという事実によって確認された。
• スプライ曲率テンソル $ K^i_k $ は $ K^i_k = K F^2 (\delta^i_k - \frac{y^i}{F} F_{y^k}) $ を満たし、一定フラッグ曲率 $ K $ であることが確認された。
• 複数のテストポイントにおける比 $ K^i_k / (K \tau^i_k) $ の数値的評価は、すべて1に極めて近く、誤差は $ 10^{-3} $ 未満であった。これは解析的結果を支持する。
• マセムを用いた記号的計算は、計算負荷が高く（1 GB RAM を超える）、多様なパrameterセットにおいても曲率条件の整合性を確認した。
• 本稿では、ヤスダ–シマダの条件が空でないことを実証的に示し、コンパクトなリー群上で初めてその条件を明示的に解いた。