[論文レビュー] Finsler surfaces with prescribed geodesics

Juan-Carlos Álvarez-Paiva, Gautier Berck|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2010

Advanced Differential Geometry Research参考文献 18被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、ホフプ法体とグラスマンニアン幾何学に基づく幾何的構成を用いて、2次元球面上のすべての測地線が円であるFinsler計量を構成する。可逆的パス幾何学が局所的にFinsler計量の測地線系として現れることを証明し、2次元球面上のすべての円形パス幾何学を、奇関数かつ亜臨界関数を用いた分類によって明らかにする。

ABSTRACT

We construct all Finsler metrics on the two-sphere for which geodesics are circles and show that any (reversible) path geometry on a two-dimensional manifold is locally the system of geodesics of a Finsler metric.

研究の動機と目的

• すべての測地線が円である2次元球面上のFinsler計量を分類すること。
• クロフトン型積分公式を用いた、超曲面の族からFinsler計量を一般に構成すること。
• 2次元多様体上のすべての可逆的パス幾何学が局所的にFinsler計量の測地線系として現れることを示すこと。
• R⁴における2次元平面のグラスマンニアンによるパラメトライゼーションを用いて、2次元球面上のすべての円形パス幾何学を特徴づけること。
• 円形測地線の文脈において、リーマン計量とFinsler計量の違いを明確にし、リーマン計量の場合には定曲率計量のみが現れることを示すこと。

提案手法

• S³ → S²へのホフプ法体πを用いて、R⁴内の向き付き2次元平面をS²上の円に上昇させる。
• S²₊ × S²₋ ≅ G̃₂(R⁴)における向き付きグラスマンニアンの部分多様体を用いて、円形パス幾何学をパラメトライズする。
• クロフトン型積分公式を用いてS²上にFinsler計量を構成する：∫F(ċ(t)) dt = ∫Γ # (γ ∩ c) dμ(γ)。ここでμはパラメータ空間Γ上の正の測度である。
• S²上の円の族の許容性を、κ: S²₊ → RからS²₊ → S²₋への写像fₖへの上昇により特徴づける。このときκとそのノルムを含む特定の式を用いる。
• F²における二次的凸性条件を適用し、Finsler計量が適切に定義され、測地線が所定の曲線に対応することを保証する。
• 2次元ではクロフトン公式がFinsler計量の測地線を特徴づけるため、積分幾何学とFinsler幾何学を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 S²上のどのFinsler計量が、すべての測地線を円に持つか？
• RQ2 2次元多様体上のすべての可逆的パス幾何学が、Finsler計量の測地線系として実現可能か？
• RQ3 2次元球面上の円形パス幾何学の完全な分類は何か？
• RQ4 クロフトン公式によるFinsler計量の構成と、S³*上の不変測度による構成とはどのように関係するか？
• RQ5 与えられたパス幾何学がリーマン計量の測地線系として実現可能でない障害は何か？

主な発見

• すべての測地線が円であるS²上のFinsler計量は、G̃₂(R⁴)のグラスマンニアンによるパラメトライズーションを用い、||∇κ|| < 1 + κ²を満たす奇関数かつC¹関数κ: S²₊ → Rを用いて構成される。
• この構成により、2変数の2つの関数に依存する1パラメータ族のFinsler計量が得られ、不変構成よりも一般解が豊かであることが示された。
• 円形測地線を持つ唯一のリーマン計量は、定曲率計量であり、これはコファンスキーの結果とベルトラミの定理によって示された。
• 構成されたFinsler計量は、原点における指数写像のC²正則性の欠如により、一般にリーマン的ではない。
• 固定半径の円のような非可逆的パス幾何学は、ホフプ＝リノウの定理の類似により、局所的Finsler計量しか得られない。
• クロフトン公式の構成は非可逆的Finsル計量を生成できないため、より広い枠組みとして磁気ラグランジアンを用いる必要がある。