[論文レビュー] Finslerian angle-preserving connection in two-dimensional case. Regular realization

G. S. Asanov|ArXiv.org|Sep 9, 2009

Advanced Differential Geometry Research参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、2次元のFinsler空間において、平行移動中にベクトルの長さと角度の両方を保存する、新しいFinsler接続を導入する。これはリーマン幾何におけるLevi-Civita接続の一般化である。接続は、Finsler計量および角度関数 $ \theta(x,y) $ から導かれる明示的な係数 $ N^k_i(x,y) $ と $ D^k_{in}(x,y) $ を用いて構成され、曲率テンソル $ \rho_{knij} = T(b_n n_k - b_k n_n)M_{ij} $ を得る。Finslerオイド正則の場合には、すべての成分がグローバルに $ C^\infty $-正則である。

ABSTRACT

We show that the metrical connection can be introduced in the two-dimensional Finsler space such that entailed parallel transports along curves joining points of the underlying manifold keep the two-vector angle as well as the length of the tangent vector, thereby realizing isometries of tangent spaces under the parallel transports. The curvature tensor is found. In case of the Finsleroid-regular space, constructions possess the $C^{\infty}$-regular status globally regarding the dependence on tangent vectors. Many involved and important relations are explicitly derived. Keywords: Finsler metrics, angle, connection, curvature tensors

研究の動機と目的

• リーマン幾何における等長的平行移動の性質を、Finsler幾何へと拡張し、ベクトルの長さと角度の両方を保存する。
• Finsler空間における角度構造が、一意に適合接続を生成できるかどうかという根本的問題に取り組む。
• 2次元のFinslerオイド正則空間において、グローバルに $ C^\infty $-正則な接続を構成する。
• 長さと角度の保存制約下で、接続係数および曲率テンソルの明示的表現を導出する。

提案手法

• 長さ保存の条件 $ d_i F = 0 $ と角度保存の条件 $ d_i \theta = k_i $ を満たす係数 $ N^k_i(x,y) $ を用いて接続を定義する。ここで $ \theta $ は指示子の弧長を用いて測定される角度関数である。
• 係数 $ D^k_{in} = -\partial N^k_i / \partial y^n $ を導出し、これは $ i,n $ に対して対称でないため、リーマンのクリストッフェル記号とは区別される。
• 主スカラー $ I $、ベクトル $ A_k = F C_k $、テンソル $ A_{ijk} = I m_i m_j m_k $ を用いて曲率成分を表現する。
• 共変微分下での計量テンソルの保存を保証するため、$ l_k N^{k}_{nmi} = 0 $ の条件を $ F N^{k}_{nmi} = -A^k_{mi} \partial_n \ln|I| $ として適用する。
• 曲率テンソルを $ \rho_{knij} = E_{knij} - M^h_{ij} C^n_{hk} $ により構成し、$ E_{knij} = -\partial M^{n}_{ij}/\partial y^k $ より $ \rho_{knij} = T(b_n n_k - b_k n_n)M_{ij} $ を得る。
• ランダース計量の場合に構成を検証し、$ \partial\theta/\partial x^n $ および $ \partial F/\partial x^n $ が $ y $ に関して滑らかで正則であることを示し、グローバルに $ C^\infty $-正則であることを確認した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元Finsler空間において、平行移動がベクトルの長さと2つのベクトル間の角度の両方を保存するようなFinsler接続を構成できるか？
• RQ2 Finsler幾何における角度構造は、リーマン幾何における計量がLevi-Civita接続を一意に定めるのと同様に、適合接続を一意に定めるのか？
• RQ3 長さと角度の両方の保存を保証する、接続係数 $ N^k_i(x,y) $ と $ D^k_{in}(x,y) $ の明示的形は何か？
• RQ4 この角度保存接続の曲率テンソルは何か？また、ベクトル場 $ k_i $ の共変微分とどのように関係するか？
• RQ5 構成された接続は、Finslerオイド正則空間において、特にランダース計量の場合にグローバルに $ C^\infty $-正則であるか？

主な発見

• 接続係数 $ N^k_i(x,y) $ は、平行移動におけるベクトルの長さと角度の保存を保証するように、$ d_i F = 0 $ および $ d_i \theta = k_i $ を満たすように明示的に構成された。
• 曲率テンソルは $ \rho_{knij} = T(b_n n_k - b_k n_n)M_{ij} $ として導出され、ここで $ M_{ij} = \partial k_j / \partial x^i - \partial k_i / \partial x^j $ であり、ベクトル場 $ k_i $ の共変微分に依存することが示された。
• Finslerオイド正則空間において、接続はグローバルに $ C^\infty $-正則であり、$ \partial\theta/\partial x^n $ を含むすべての成分が $ y $ に関して滑らかであることが、ランダース計量の場合に確認された。
• 曲率テンソル成分は $ \bar{L}_{knij} = a_{nh} \bar{L}^h_{ij} $ を用いて表現され、ランダースの場合には $ \rho_{knij} = \sqrt{(F/S)^3} \bar{L}_{knij} $ となり、一貫した構造を示した。
• 接続係数は $ \partial F / \partial x^n $ と $ \partial \theta / \partial x^n $ の両方に依存しており、リーマンのクリストッフェル記号とは異なり、幾何的構造を直接埋め込んでいる。
• 条件 $ l_k N^{k}_{nmi} = 0 $ は $ F N^{k}_{nmi} = -A^k_{mi} \partial_n \ln|I| $ を用いて満たされ、Finsler計量テンソルが共変微分下で保存されることを保証した。