[論文レビュー] Finslerian Isospin--Nonlinear Equations for Pion and Spinor Interactions

G. S. Asanov|ArXiv.org|Jun 2, 2003

Advanced Differential Geometry Research参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非線形なパイオニオンおよびスピンダー相互作用をモデル化するため、スピン空間におけるフィンスラー幾何学的枠組みを提案する。曲率に依存する計量を導入し、フィンスラーイド構造を通じて自己相互作用を有するパイオニオン場を導出する。主な結果として、明示的なフィンスラー的自己相互作用を有する一般化されたクライン＝ゴルドン＝ディラック方程式が得られ、非線形変換下でもエネルギー運動量およびアイソスピン荷が保存されることを示す。

ABSTRACT

The Finslerian curvature is introduced in the three-dimensional isospin space, suggesting that the isospin-pion field transforms according to non-linear Finslerian invariance transformations. The fundamental non-linear realization is associated with the pion field triplet. The Finslerian Lagrangian, as well as the implied pion-field selfinteraction, involves the first but no higher derivatives of the pion field. While the invariance transformations are now nonlinear, the conservation laws are still meaningful and sufficient to get the conservations for the energy-momentum and charges. The Finsler-invariant pion-nucleon Lagrangian function is also proposed. The Finslerian isospin-space symmetry is a pure interaction symmetry not shared by the asymptotic fields. The full Klein-Gordon-Dirac equation is accordingly extended. Various details of the implied Finsleroid-structure are formulated in an explicit way.

研究の動機と目的

• アイソスピン空間におけるフィンスラー幾何学を用いて、標準的なユークリッド不変性に代わるパイオンおよびヌクレオンの非線形場理論を構築すること。
• パイオン自己相互作用をフィールド依存の計量成分を含むフィンスラー不変ラグランジアンとして定式化すること。
• クライン＝ゴルドンおよびディラック方程式をフィンスラー的曲率効果を含めるように拡張し、保存則を保つこと。
• 非線形対称性変換下でもアイソスピン荷およびエネルギー運動量が保存されることを示すこと。
• カルタン曲率テンソルの明示的代数的構造を有する一定曲率多様体としてのフィンスラーイド空間を特徴づけること。

提案手法

• パイオン場トリプレット $ \rho^r $ に依存するフィンスラー計量テンソル $ g_{pq}(g; \rho^r) $ を導入し、アイソスピン空間における標準的ユークリッド計量に置き換える。
• フィールド依存の計量を含む、$ \tilde{\frak{F}}_g $-回転に対して不変な非線形ラグランジアン $ L_\rho $ を導出する。このラグランジアンにはパイオン場の一次微分およびフィールド依存計量が含まれる。
• 作用 $ S\big\bracevert \rho^r \big\bracevert = \bigint \negmedspace L_\rho \negmedspace d^4x $ からオイラー＝ラグランジュ方程式を構成し、非線形自己相互作用を有するフィンスラー的パイオン場方程式を導出する。
• パイオン-ヌクレオン結合を、$ \rho^r $ および $ \bar{\rho} $ の共変微分を含むディラックラグランジアンに拡張することで、フィンスラー不変な結合を提案する。これによりアイソスピン不変な組み合わせが形成される。
• フィンスラーイド空間 $ \frak{F}^{PD}_g $ を、判別式を用いて定まる二次形式の曲率によって決定される指示関数超曲面 $ K(g; R) = 1 $ として定義する。
• カルタン曲率テンソル $ C_{pqr} $ および曲率テンソル $ S_{pqrs} $ を明示的に計算し、それらが計量 $ h_{ab} $ および単一パラメータ $ g $ に依存する特別な代数的形をとることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アイソスピン空間におけるフィンスラー幾何学は、高次導関数を導入することなく、どのようにパイオン自己相互作用の非線形実現を可能にするか？
• RQ2 フィールド依存幾何を有する三次元アイソスピン空間におけるフィンスラー計量および曲率テンソルの構造は何か？
• RQ3 非線形フィンスラー不変性変換下でも、エネルギー運動量およびアイソスピン荷の保存則は維持可能か？
• RQ4 フィンスラーイド構造は、計量関数からどのように導かれるか？また、その幾何学的意味は曲率の観点からどのように解釈できるか？
• RQ5 フィンスラー的自己相互作用およびパイオン依存スピンダー力学を組み込んだ、拡張されたクライン＝ゴルドン＝ディラック方程式の明示的形は何か？

主な発見

• 式 (1.8) のフィンスラー的パイオン場方程式は、$ C_q^p{}_{s}(g; \rho^r) $-依存の自己相互作用により非線形である。これは、フィールド依存計量成分に起因する。
• エネルギー運動量テンソル $ T_i^j $ は $ \nabla_j T_i^j = 0 $ を満たし、非線形力学下でもエネルギーおよび運動量の保存が確認される。
• アイソスピン荷 $ Q_a $ は $ \nabla_n j_a^n = 0 $ を満たすため、非線形 $ \tilde{\frak{F}}_g $-回転下でも保存される。これはラグランジアンの不変性に起因する。
• カルタン曲率テンソル $ C_{pqr} $ は、計量 $ h_{ab} $ を含む特別な代数的形 (2.66) を取り、$ C_p C^p = N^2 g^2 / (4K^2) $ を満たす。
• 曲率テンソル $ S_{pqrs} $ は $ h_{pr}h_{qs} - h_{ps}h_{qr} $ に比例し、$ S^* = -g^2/4 $ である。これは一定正曲率 $ \frak{R}_{\text{Finsleroid}} = 1 - g^2/4 \neq 0 $ を示している。
• フィンスラーイド空間 $ \frak{F}^{PD}_g $ は、$ \frak{R}_{\text{Finsleroid}} = -D_{\text{B}} / 4 $ を満たす一定曲率多様体であり、ここで $ D_{\text{B}} $ は二次形式 (2.22) の判別式である。