[論文レビュー] Finsleroid--Finsler Space with Berwald and Landsberg Conditions

G. S. Asanov|ArXiv.org|Mar 20, 2006

Advanced Differential Geometry Research参考文献 12被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、1形式とスカラー電荷 $g$ を用いて定義されるリーマン多様体上のフィン슬ァー的計量構造、Finsleroid–Finsler空間を導入する。この空間がBerwald空間であるための必要十分条件は、1形式が平行で $g$ が定数であることであり、Landsberg空間であるための必要十分条件は $g$ が定数であることである。両者のタイプについて明示的な代数的条件が導出された。

ABSTRACT

We formulate the notion of the Finsleroid--Finsler space, including the positive--definite as well as indefinite cases. The associated concepts of angle, scalar product, and the distance function are elucidated. If the Finsleroid--Finsler space is of Landsberg type, then the Finsleroid charge is a constant. The Finsleroid--Finsler space proves to be a Berwald space if and only if the Finsleroid--axis 1-form is parallel with respect to the associated Riemannian metric and, simultaneously, the Finsleroid charge is a constant. The necessary and sufficient conditions for the Finsleroid--Finsler space to be of the Landsberg type are found, which are explicit and simple. The structure of the associated curvature tensors has been elucidated.

研究の動機と目的

• 1形式とスカラー電荷 $g$ を用いて、リーマン多様体のフィン슬ァー拡張としてFinsleroid–Finsler空間を定義し、形式化すること。
• この空間がBerwaldおよびLandsberg幾何的条件を満たすための必要十分条件を調査すること。
• Finsleroid電荷 $g$ が、空間がLandsberg型またはBerwald型であるかどうかを決定する役割を明確にすること。
• LandsbergおよびBerwald条件の下で、特に $hv$-曲率 $P_{k}{}^{i}{}_{mn}$ の明示的な表現を導出すること。
• Landsberg条件が $g = \text{constant}$ を意味することを確立し、Berwald条件が $g = \text{constant}$ および平行な1形式を要請することを示すこと。

提案手法

• Finsleroid–Finsler計量関数 $K$ は、リーマン計量 $\mathcal{S}$、1形式 $b_i y^i$、およびスカラー電荷 $g$ から構成され、正定値なフィン슬ァー構造を形成する。
• Cartanテンソル $A_{ijk}$ 及びその縮約 $A_i = g^{jk}A_{ijk}$ は代数的に導出され、$g$、$b_i$、およびリーマン計量に依存することが明らかになった。
• $h$-共変微分 $\dot{A}_{j} = A_{j|i}l^i$ はリーマン接続 $\nabla$ を用いて計算され、長延長された角計量 $\mathcal{H}_{ij}$ およびテンソル $P_m$ を用いた $\dot{A}_i$ の明示的表現が得られた。
• $hv$-曲率テンソル $P_{k}{}^{i}{}_{mn}$ は公式 $P_{k}{}^{i}{}_{mn} = K \partial_y (\dot{A}^{i}{}_{km} - \frac{1}{2}G^{i}{}_{km})$ を用いて計算され、$\mathcal{H}_{ij}$、$\nabla b_i$、および $g$ を用いた複雑だが明示的な表現が得られた。
• Landsberg条件 $\dot{A}_{jkl} = 0$ は、恒等式 $\dot{A}_{jkl} = -\frac{1}{4} y^i \partial^3_y (\gamma^{i}_{nm} y^n y^m)/(\partial y^j \partial y^k \partial y^l)$ を用いて分析され、$\dot{A}_{jkl} = 0$ がかつて $g = \text{constant}$ であることが結論づけられた。
• Landsberg条件の下で曲率の恒等式および保存則（例：$\rho^{i}{}_{j|i} \equiv 0$）が検証され、既知のフィン슬ァー幾何学と整合することが確認された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Finsleroid–Finsler空間がBerwald空間であるための条件は何か？
• RQ2 Finsleroid–Finsler空間がBerwald型でない場合にLandsberg型であることは可能か？
• RQ3 Finsleroid電荷 $g$ がLandsbergおよびBerwald性質を決定づける役割は、どのように正確に規定されるか？
• RQ4 Landsberg条件下で $hv$-曲率テンソル $P_{k}{}^{i}{}_{mn}$ はどのように簡略化されるか？
• RQ5 Finsleroid–Finsler空間がLandsberg型であるための必要十分条件は何か？

主な発見

• Finsleroid–Finsler空間がLandsberg空間であるための必要十分条件は、Finsleroid電荷 $g$ が定数であることである。$\dot{A}_j = 0$ が $g = \text{constant}$ を意味することから導出された。
• Finsleroid–Finsler空間がBerwald空間であるための必要十分条件は、Finsleroid電荷 $g$ が定数であり、かつ1形式 $b_i$ がリーマン計量 $\mathcal{S}$ に関して平行であることである。
• 定数 $g$ の下での $\dot{A}_i$ の表現は $\dot{A}_i = \frac{Ng}{2q} \mathcal{H}_i{}^m P_m$ であり、ここで $P_m = y^j \nabla_j b_m + \frac{1}{2} g q b^j \nabla_j b_m$ である。これはCartanテンソルの微分の構造を確認する。
• $hv$-曲率テンソル $P_{k}{}^{i}{}_{mn}$ は明示的に計算され、Landsberg条件下でより単純な形に簡略化され、すべての成分が $\mathcal{H}_{ij}$ および $\nabla b_i$ に比例することが示された。
• 任意のLandsberg型Finsleroid–Finsler空間において保存則 $\rho^{i}{}_{j|i} \equiv 0$ が成り立つ。これは既知のフィン슬ァー幾何学の結果と整合する。
• テンソル $\mu_{kmn} = r_{km}v_n + r_{kn}v_m + r_{mn}v_k - \frac{3}{q^2} v_k v_m v_n$ は曲率式の主要な構成要素として現れ、$\mu_{ij} = \mathcal{H}_{ij} \frac{B}{K^2}$ と表され、曲率が角計量および電荷構造と関連付けられる。