[論文レビュー] Finsleroid gives rise to the angle-preserving connection

G. S. Asanov|ArXiv.org|Oct 6, 2009

Advanced Differential Geometry Research参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一定曲率の被覆的指示子を備えたFinsleroid Finsler空間を定義し、その空間がリーマン空間への共形変換から生じる角度を保存する等長接続を備えていることを示している。この接続は非対称であるが計量適合であり、Levi-Civita型の接続および曲率テンソルを直接導出可能であり、FF P D g型の軸対称Finsleroidに対して明示的な評価がなされている。

ABSTRACT

The Finslerian unit ball is called the {\it Finsleroid} if the covering indicatrix is a space of constant curvature. We prove that Finsler spaces with such indicatrices possess the remarkable property that the tangent spaces are conformally flat with the conformal factor of the power dependence on the Finsler metric function. It is amazing but the fact that in such spaces the notion of the two-vector angle defined by the geodesic arc on the indicatrix can readily be induced from the Riemannian space obtained upon the conformal transformation, which opens up the straightforward way to induce also the connection coefficients and the concomitant curvature tensor. Thus, we are successfully inducing the Levi-Civita connection from the Riemannian space into the Finsleroid space, obtaining the isometric connection. The resultant connection coefficients are not symmetric. However, the metricity condition holds fine, that is, the produced covariant derivative of the Finsleroid metric tensor vanishes identically. The particular case underlined by the axial Finsleroid of the ${\mathbf\cF\cF^{PD}_{g}}$-type is explicitly evaluated in detail. Keywords: Finsler metrics, connection, curvature, conformal properties.

研究の動機と目的

• リーマン幾何におけるLevi-Civita性質を模倣する、接ベクトル間の角度を保存するFinsler接続を確立すること。
• 指示子上の測地線弧を用いて定義される角度の概念が、Finsler幾何における標準的接続を誘導するために使用可能かどうかを検討すること。
• 指示子が一定曲率を有する（Finsleroidである）Finsler空間が、リーマン空間への共形変換を許容することを示し、Levi-Civita接続の移行を可能にすること。
• 軸対称FinsleroidのFF P D g型に対して、接続係数および曲率テンソルを導出し、明示的に計算すること。

提案手法

• Finsleroidを、接空間がべき則的共形因子を伴い、共形平坦性を保証する指示子が一定曲率を有するFinsler空間として定義する。
• 単位ベクトル間を結ぶ指示子上の測地線弧のリーマン的長さとして、geodesic-arc angle α{x}(y1, y2) を定義し、誘導されたリーマン計量を用いる。
• Finsleroid接空間をリーマン空間へ共形変換し、そのリーマン構造からLevi-Civita接続および曲率テンソルを誘導する。
• リーマン接続を上昇させることでFinsleroid空間における誘導接続係数を導出し、非対称であるが計量性条件を満たすことを示す。
• 正規直交フレームおよびテンソル変換則を用いて、軸対称FinsleroidのFF P D g型に対して接続および曲率成分を明示的に計算する。
• 共変微分がFinsleroid計量テンソルに対して恒等的に消えることにより、誘導接続の計量適合性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Finsler空間における2つのベクトル間の角度は、指示子上の測地線弧長を用いて定義可能であり、この定義が標準的で角度を保存する接続を導くか？
• RQ2 指示子が一定曲率を有する（Finsleroidである）Finsler空間は、幾何的構造を保存する共形写像によりリーマン空間に写像可能か？
• RQ3 共形関係にあるリーマン空間のLevi-Civita接続をFinsleroid空間に正しく誘導でき、well-definedかつ計量適合な接続が得られるか？
• RQ4 軸対称FinsleroidのFF P D g型に対して、接続係数および曲率テンソルの明示的形は何か？
• RQ5 Finsleroid空間における誘導接続は非対称であるが計量適合であり、その幾何的解釈にどのような影響を及えるか？

主な発見

• 一定曲率の指示子を有するFinsleroid空間は、Finsler計量関数のべき則的共形因子を伴い、共形平坦である。
• 測地線弧角度 α{x}(y1, y2) は、指示子上の測地線弧のリーマン的長さとして定義され、Finsler幾何における一貫性のある角度概念の構築を可能にする。
• Finsleroid空間における誘導接続は非対称であるが計量性条件を満たしており、Finsleroid計量テンソルの共変微分は恒等的に消える。
• Finsleroid空間の曲率テンソルは、共形変換を介してリーマン空間から正しく誘導され、幾何的整合性が保たれる。
• 軸対称FinsleroidのFF P D g型に対して、特殊な正規直交フレームおよびテンソル変換則を用いて、接続係数および曲率成分が明示的に計算された。
• 本手法により、非線形かつ非対称であっても、Finsleroid空間において等長的で角度を保存する平行移動が可能であることが確認された。