[論文レビュー] First extension groups of Verma modules and $R$-polynomials

Noriyuki Abe|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、最高ウェイトが正則である場合、Verma加群間の第一拡張群の次元がKazhdan-LusztigのR多項式の係数と一致することを示すことによって、Gabber-Joseph予想を解決する。翻訳ファンクターとWeyl群作用を用いて、Ext¹(M(w₀λ), M(λ))にW加群構造を構成し、それが双対Cartan部分代数に同型であることを証明する。また、dim Vₗ(x,y) が (−1)^(ℓ(y)−ℓ(x)−1)R_{y,x}(q) の q の係数に等しいことを示し、正則な場合に予想を確認するとともに、翻訳ファンクターを用いて特異なウェイトへ拡張する。

ABSTRACT

We study the first extension groups between Verma modules. There was a conjecture which claims that the dimensions of the higher extension groups between Verma modules are the coefficients of $R$-polynomials defined by Kazhdan-Lusztig. This conjecture was known as the Gabber-Joseph conjecture (although Gebber and Joseph did not state.) However, Boe gives a counterexample to this conjecture. In this paper, we study how far are the dimensions of extension groups from the coefficients of $R$-polynomials.

研究の動機と目的

• Verma加群間の第一拡張群の次元がR多項式の係数に等しいというGabber-Joseph予想を解決すること。
• 特異な場合における予想の不成立を理解し、R多項式係数からのずれを定量化すること。
• 特異なウェイトを含む任意のドミナント整数ウェイトへ、MazorchukのExt¹(M(xλ), M(yλ))の公式を一般化すること。
• 正則なλに対して、Ext¹(M(w₀λ), M(λ))にW加群構造を構成し、それが𝔥*に同型であることを示すこと。
• R多項式を用いて、dim Vₗ(x,y) の明確な公式を帰納法と翻訳ファンクターを用いて確立すること。

提案手法

• Verma加群の包含により、Ext¹(M(xλ), M(yλ)) → Ext¹(M(w₀λ), M(λ)) の制限写像の像としてVₗ(x,y)を定義する。
• 正則なλに対して、Vₗ(w₀,e) が双対Cartan部分代数𝔥*に同型なW加群構造を有することを証明する。
• ys < y または ys > y に応じて、Vₗ(xs,y) が s(Vₗ(x,ys)) や s(Vₗ(x,y)) を用いた再帰的公式として表されることを確立する。
• 翻訳ファンクター Tₚ^λ を用いて、特異なλにおけるExt¹群と正則なλにおけるそれらを関連させ、Vₗ(x,y) 上に全射写像を誘導することを示す。
• 翻訳に誘導される写像の核が、λの安定化子 Sₗ に属する s に対する vₛ の張る空間に等しいことを同定する。
• ℓ(x) についての逆帰納法を用いて、主要結果を証明し、w₀s' ≥ x を満たす反射 s' の数をR多項式の次数と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則なドミナント整数ウェイトλに対して、Ext¹(M(xλ), M(yλ)) の次元は、(−1)^(ℓ(y)−ℓ(x)−1)R_{y,x}(q) の q の係数に等しいか？
• RQ2 λ が特異な場合、Ext¹(M(xλ), M(yλ)) の構造はどのように変化し、R多項式係数からのずれは何か？
• RQ3 Ext¹(M(w₀λ), M(λ)) におけるWeyl群作用を用いて、dim Vₗ(x,y) の再帰的公式を導出できるか？
• RQ4 翻訳ファンクター Tₚ^λ によるExt¹空間上の写像の核は何か？ そして、正則と特異な場合の比較にどのように影響するか？
• RQ5 写像 Ext¹(M(xλ), M(yλ)) → Ext¹(M(w₀λ), M(λ)) は単射か？ もし非単射であれば、その核は何か？

主な発見

• 正則なドミナント整数ウェイトλに対して、dim Vₗ(x,y) は (−1)^(ℓ(y)−ℓ(x)−1)R_{y,x}(q) の q の係数に等しく、この場合にGabber-Joseph予想が確認された。
• 空間 Vₗ(w₀,e) は、双対Cartan部分代数𝔥*に同型なW加群構造を有し、単純反射 s に対応する基底元 vₛ を持つ。
• xs > x かつ ys < y のとき、Vₗ(xs,y) = s(Vₗ(x,ys)) が成り立つ。ys > y のとき、Vₗ(xs,y) = Kvₛ + s(Vₗ(x,y)) が成り立つ。
• 特異なλに対して、翻訳ファンクター Tₚ^λ は Vₗ₀(x,y) → Vₗ(x,y) に全射写像を誘導し、その核は Sₗ に属する s に対する vₛ の張る空間に等しい。
• 写像 Ext¹(M(xλ), M(yλ)) → Ext¹(M(w₀λ), M(λ)) は単射でない。x ≥ y のとき、その核は Hom(M(xλ), M(λ)/M(yλ)) に同型である。
• 結果はℓ(x) についての逆帰納法により証明され、w₀s' ≥ x を満たす s' の数が r_{w₀,x} に等しく、これは dim Vₗ(w₀,x) に一致する。