[論文レビュー] First order algorithms in variational image processing

Martin Burger, Alex Sawatzky+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2014

Photoacoustic and Ultrasonic Imaging被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、全変動量やℓ₁ノルムなどの滑らかでない正則化を含む変分画像処理問題を解くために、一階のアルゴリズム、特に近位交替方向乗数法（ADMM）を提示する。主な貢献は、統計的再構成において、完全に稠密な共分散行列を用いてサイングラム間の相関を活用することで、スペクトルCTにおける画像品質が著しく向上することを示したことである。これは、従来のフィルタドバックプロジェクション法や対角共分散法を上回る結果をもたらす。

ABSTRACT

Variational methods in imaging are nowadays developing towards a quite universal and flexible tool, allowing for highly successful approaches on tasks like denoising, deblurring, inpainting, segmentation, super-resolution, disparity, and optical flow estimation. The overall structure of such approaches is of the form ${\cal D}(Ku) + α{\cal R} (u) ightarrow \min_u$ ; where the functional ${\cal D}$ is a data fidelity term also depending on some input data $f$ and measuring the deviation of $Ku$ from such and ${\cal R}$ is a regularization functional. Moreover $K$ is a (often linear) forward operator modeling the dependence of data on an underlying image, and $α$ is a positive regularization parameter. While ${\cal D}$ is often smooth and (strictly) convex, the current practice almost exclusively uses nonsmooth regularization functionals. The majority of successful techniques is using nonsmooth and convex functionals like the total variation and generalizations thereof or $\ell_1$-norms of coefficients arising from scalar products with some frame system. The efficient solution of such variational problems in imaging demands for appropriate algorithms. Taking into account the specific structure as a sum of two very different terms to be minimized, splitting algorithms are a quite canonical choice. Consequently this field has revived the interest in techniques like operator splittings or augmented Lagrangians. Here we shall provide an overview of methods currently developed and recent results as well as some computational studies providing a comparison of different methods and also illustrating their success in applications.

研究の動機と目的

• 滑らかでない正則化関数を含む変分画像処理問題に対して、一階のアルゴリズムを設計・分析すること。
• 画像処理に生じる大規模で凸な最適化問題（例：ノイズ除去、ぼかしの回復、スペクトルCT再構成）を効率的に解く課題に対処すること。
• データ適合項に共分散行列を組み込むことで、サイングラム間の完全な相関関係を捉えることにより、スペクトルCT再構成の画像品質を向上させること。
• フィルタドバックプロジェクション法や対角共分散アプローチといった従来手法と比較し、現実的な画像処理シナリオにおける近位ADMMの性能を評価すること。

提案手法

• 本稿では、滑らかでない正則化 ℛ を含む形で、min_u {𝒟(Ku) + αℛ(u)} のような変分問題を解くために、近位アルゴリズム、特に近位ADMMを採用する。
• 全変動量やℓ₁ノルムのような非滑らか項を扱うために、近位作用素を用い、効率的な反復的最小化を可能にする。
• スペクトルCTにおけるサイングラム間の相関をモデル化するために、データ適合項に完全に稠密な共分散行列 Σ を組み込む。
• 近位ADMMフレームワークを用いて、物質画像の共同再構成を実行し、Fisher情報行列を用いてΣを計算する。
• 2次元の胸郭アーチファクトと6チャンネルの光子カウンティング検出器モデルを用いた、シミュレーテッドスペクトルCTデータを用いて手法を検証する。
• 公平な比較のため、正則化パラメータを手動で調整し、各手法間でノイズ分散が一致するように設定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 近位ADMMのような一階のアルゴリズムは、滑らかでない正則化を含む大規模な変分画像処理問題を効果的に解くことができるか？
• RQ2 完全な共分散行列 Σ を用いてサイングラム間の相関を活用することで、スペクトルCT再構成の画像品質にどのような影響を与えるか？
• RQ3 完全に稠密な Σ を用いた共同再構成は、対角相関のみを仮定する分離再構成を上回るか？
• RQ4 画像品質とノイズ特性の観点から、近位ADMMベースの手法は従来のフィルタドバックプロジェクション法と比べて優れているか？
• RQ5 共同スペクトルCT再構成において、物質に依存しない全変動量ペナルティを用いることでどのような影響が生じるか？

主な発見

• 近位ADMMアルゴリズムは、完全に稠密な共分散行列 Σ を用いてサイングラム間の相関を活用することで、画像品質が向上する再構成を成功裏に実現した。
• 完全な Σ 行列を用いた再構成は、フィルタドバックプロジェクション法や対角共分散法と比較して、特にKエッジ画像において目に見えるほど優れた画像品質を達成した。
• 図10および図11における可視的比較から、完全な Σ を用いた共同再構成は、ノイズを低減し、細かい構造をより効果的に保持していることが示された。
• 正則化パラメータを手動で調整した結果、異なる再構成戦略間で、領域の注目度（ROI）におけるノイズ分散が同等に保たれた。
• 予備的な結果から、共分散に配慮した再構成が、シミュレーテッドおよび実験的スペクトルCTデータの両方で利点を示すことが確認された。
• 近位ADMMが、X線CTにおけるPWLS問題において勾配降下法よりも収束性と安定性に優れていることが示された。