[論文レビュー] First-order condensation transition in the position distribution of a run-and-tumble particle in one dimension

Francesco Mori, Giacomo Gradenigo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Diffusion and Search Dynamics参考文献 70被引用数 42

ひとこと要約

本稿は、正規分布する速度と指数分布する走行時間を有する1次元のランダム・トゥンブル粒子（RTP）の位置分布を研究する。X ∼ N^{3/4}における1次相転移が発生し、1つの大きな変位（凝集体）が軌道を支配する。これはレート関数の微分における不連続性と参加比のジャンプによって示され、正確な解析と数値シミュレーションによって確認されている。

ABSTRACT

We consider a single run-and-tumble particle (RTP) moving in one dimension. We assume that the velocity of the particle is drawn independently at each tumbling from a zero-mean Gaussian distribution and that the run times are exponentially distributed. We investigate the probability distribution $P(X,N)$ of the position $X$ of the particle after $N$ runs, with $N\gg 1$. We show that in the regime $ X \sim N^{3/4}$ the distribution $P(X,N)$ has a large deviation form with a rate function characterized by a discontinuous derivative at the critical value $X=X_c>0$. The same is true for $X=-X_c$ due to the symmetry of $P(X,N)$. We show that this singularity corresponds to a first-order condensation transition: for $X>X_c$ a single large jump dominates the RTP trajectory. We consider the participation ratio of the single-run displacements as the order parameter of the system, showing that this quantity is discontinuous at $X=X_c$. Our results are supported by numerical simulations performed with a constrained Markov chain Monte Carlo algorithm.

研究の動機と目的

• 1次元RTPの位置分布P(X, N)の極値統計を理解すること。ここで速度は正規分布、走行時間は指数分布する。
• 外部駆動力が存在しない（E = 0）状況において、1次動的相転移が発生するかを特定すること。これに対して、以前のE > 0の結果と対比する。
• 順序パラメータの特定と臨界定常点における不連続性の分析を通じて、相転移の性質を同定すること。
• 臨界位置Xc ∼ N^{3/4}のスケーリングを確立し、凝集体サイズXcondがN^{3/4}に比例し、全変位と一致することを確認すること。
• 遷移メカニズムとレート関数を正確な計算と高精度の数値シミュレーションによって検証すること。

提案手法

• 積率母関数と鞍点近似を用いて、位置分布P(X, N)の極値形式を導出する。
• 確率的系における実空間凝集体の形式的枠組みを適用し、レート関数F(z)の微分が不連続になる臨界定常点Xcを同定する。
• 単一走行の変位の参加比を順序パラメータとして定義し、X = Xcでジャンプする様子を示す。
• 希少な軌道をサンプリングするため、制約付きマルコフ連鎖モンテカルロシミュレーションを用いる。
• 凝集体分布pcond(x, N)を計算し、xについての積分が1/Nに等しいことを示し、1回の走行に局在化していることを確認する。
• レート関数とその2階微分を含む超越方程式の解と臨界定常行動を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元RTPの位置分布P(X, N)の極値挙動の性質は何か。ここで速度は正規分布、走行時間は指数分布する。
• RQ2 外部駆動力が存在しない（E = 0）状況において、1次動的相転移が発生するか。もし発生するならば、臨界位置Xcのスケーリングは何か。
• RQ3 凝集体（単一の支配的走行として定義される）は軌道にどのように出現するか。また、そのサイズはNに従ってどのようにスケーリングするか。
• RQ4 転移点で不連続性を示す順序パラメータは存在するか。これは1次相転移を示唆する。
• RQ5 極値領域におけるレート関数F(z)の正確な形は何か。また、臨界定常点における非解析的性質はどのように反映されるか。

主な発見

• RTPの位置分布P(X, N)は、X = ±Xcで1次動的相転移を示し、レート関数F(z)の微分が不連続になる。
• 臨界位置はXc ∼ N^{3/4}に比例し、レート関数F(z) = N^{2α−1}F(X/N^α)における極値スケーリングα = 3/4に対応する。
• |X| > Xcの領域では、サイズXcond ∼ N^{3/4}の単一の走行が軌道を支配し、実空間における凝集体を形成する。この凝集体は全変位の有限分率を占める。
• 単一走行変位の参加比が順序パラメータとして機能し、X = Xcでジャンプ不連続性を示す。これは1次相転移を確認する。
• 制約付きマルコフ連鎖モンテカルロ法を用いた数値シミュレーションにより、解析的予測が確認され、凝集体の局在化とレート関数のスケーリングが裏付けられる。
• 凝集体分布pcond(x, N)のxに関する積分は正確に1/Nに等しく、凝集体がN回の走行のうち1回の変位に局在化していることを確認する。