[論文レビュー] First-order definable string transformations

Emmanuel Filiot, Shankara Narayanan Krishna+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2014

semigroups and automata theory参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ストリーミング文字列トランスducer (SST) のための新しいアペリオーディック遷移モノイドを導入することで、1階論理で定義可能な文字列変換の論理的・自動機的対応関係を確立する。このモノイドは、状態と変数の依存関係の構造的解析を通じて、1階論理で定義可能な変換のクラスを正確に捉える。主な貢献は、コピーレスな変数更新とフローに基づく遷移モノイドを持つアペリオーディックSSTを用いた1階論理で定義可能な文字列変換の特徴付けである。

ABSTRACT

The connection between languages defined by computational models and logic for languages is well-studied. Monadic second-order logic and finite automata are shown to closely correspond to each-other for the languages of strings, trees, and partial-orders. Similar connections are shown for first-order logic and finite automata with certain aperiodicity restriction. Courcelle in 1994 proposed a way to use logic to define functions over structures where the output structure is defined using logical formulas interpreted over the input structure. Engelfriet and Hoogeboom discovered the corresponding "automata connection" by showing that two-way generalised sequential machines capture the class of monadic-second order definable transformations. Alur and Cerny further refined the result by proposing a one-way deterministic transducer model with string variables---called the streaming string transducers---to capture the same class of transformations. In this paper we establish a transducer-logic correspondence for Courcelle's first-order definable string transformations. We propose a new notion of transition monoid for streaming string transducers that involves structural properties of both underlying input automata and variable dependencies. By putting an aperiodicity restriction on the transition monoids, we define a class of streaming string transducers that captures exactly the class of first-order definable transformations.

研究の動機と目的

• 1階論理で定義可能な文字列変換の論理的および自動機的特徴付けを確立すること。
• 自動機理論における標準的なアペリオーディック性の限界を克服するため、遷移モノイドに変数の依存関係を組み込むこと。
• ストリーミング文字列トランスducerにおける状態遷移と変数フローの両方を捉える、新しい遷移モノイドの定義をすること。
• この新しい遷移モノイドを持つアペリオーディックSSTが、1階論理で定義可能な変換を正確に捉えられることを証明すること。
• 変数更新メカニズムにおけるアペリオーディック性を用いて、1階論理の定義可能性を文字列変換へと拡張すること。

提案手法

• 状態遷移と変数フローの両方を統合する新しいSST用遷移モノイドを導入する。
• 変数のフローを、更新が以前の変数状態に依存する遷移における変数値の伝播として定義する。
• 1階論理（FO）の式を用いて変数状態のフローを形式化し、量化子ランクを k+4 以内に制限する。
• 文字列上での構成（状態、到達可能な状態の集合、変数）が別の構成へとフローするかどうかを表すFO文を構築する。
• 自動機理論的構成を用いてFO式をアペリオーディック自動機に変換し、商集合と射影を用いてアペリオーディック性を保持する。
• 得られたSSTが1-有界かつアペリオーディックであることを証明し、これが1階論理で定義可能な変換を正確に捉えることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1階論理で定義可能な文字列変換は、自然なトランスダーサーのクラスによって特徴付けられるか？
• RQ2 自動機からトランスダーサーへとアペリオーディック性を拡張することで、1階論理の定義可能性を捉えるにはどうすればよいか？
• RQ3 変数の依存関係とフローは、文字列変換の定義可能性にどのような役割を果たすか？
• RQ4 MSO-SST対応と類似する、1階論理で定義可能な文字列変換のための論理-トランスダーサー対応関係は存在するか？
• RQ5 SSTの遷移モノイドは、状態と変数フローの両方を組み込むように定義可能であり、かつそれがアペリオーディックであることは、変換がFOで定義可能であることと同値であるか？

主な発見

• ストリーミング文字列トランスダーサーのための、状態遷移と変数フローの両方を統合する新しい遷移モノイドが提案された。
• このモノイドは、(状態、到達可能な状態の集合、変数) のタプルの上に定義され、文字列に沿った変数値のフローを捉える。
• この拡張された遷移モノイドのアペリオーディック性が、1階論理で定義可能な文字列変換のクラスを正確に特徴付けることが示された。
• 本稿では、1階論理で定義可能な変換が、コピーレスな変数更新を持つアペリオーディックSSTで表現可能であることを証明した。
• 変数フローの式ベースの特徴付けが開発され、量化子ランクが最大 k+4 のFO式が、構成間のフローを表現する。
• 得られたSSTが1-有界かつアペリオーディックであることが証明され、これにより1階論理で定義可能な文字列変換を正確に捉えることが保証された。