[論文レビュー] First-order Euler scheme for SDEs driven by fractional Brownian motions: the rough case

Yanghui Liu, Samy Tindel|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2017

Stochastic processes and financial applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Hurtsパラメータ $ H \in (\frac{1}{3}, \frac{1}{2}) $ を持つ分数 Browanian 動き（fBm）によって駆動される確率微分方程式（SDE）のための修正された1階Eulerスキームを導入し、その解析を行う。スキームと誤差過程を粗いパス枠組みに持ち上げることで、収束速度 $ n^{\frac{1}{2}-2H} $ を確立し、その速度が鋭いことを証明するとともに、重み付き確率和の新しい漸近的手法を用いて、正規化誤差の中心極限定理を導出する。

ABSTRACT

In this article, we consider the so-called modified Euler scheme for stochastic differential equations (SDEs) driven by fractional Brownian motions (fBm) with Hurst parameter $\frac13\frac12$. The current contribution generalizes the modified Euler scheme to the rough case $\frac13

研究の動機と目的

• 分数 Browanian 動きによる SDE に対して、$ H \in (\frac{1}{3}, \frac{1}{2}) $ の粗い状態における数値的に実装可能な1階時間離散スキームを開発すること。
• 古典的Eulerスキームが発散する粗い状態において、修正されたEulerスキームの収束速度を確立すること。
• 収束速度 $ n^{\frac{1}{2}-2H} $ が鋭く、このスキームに対して正確であることを証明すること。
• 重み付き確率和の高度な漸近解析を用いて、正規化誤差過程の中心極限定理を導出すること。
• fBm、スキーム、正規化誤差の三重過程が、時間刻みサイズに依存しない Hölder 範数を持つ粗いパスに持ち上げられることを示すこと。

提案手法

• スキームは、$ H < \frac{1}{2} $ の粗い状態に一般化された古典的Eulerスキームを基にした1階時間離散近似として構築される。
• 収束の挙動を制御するため、fBm、スキーム過程、正規化誤差過程を粗いパス枠組みに持ち上げる手法に依存する。
• 主な技術的革新は、スキームの近似誤差を制御するための離散セーミング補題の使用である。
• 誤差の漸近的分布を導出するために、誤差の重み付き確率和を粗いパス技術を用いて分析する。
• 収束速度は、持ち上げられた粗いパスの Hölder 範数の推定によって導出され、これは時間刻みサイズ $ h = T/n $ に依存しないことが示された。
• 持ち上げられた粗いパスの収束と fBm の反復積分の構造を用いて、正規化誤差の中心極限定理を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ H \in (\frac{1}{3}, \frac{1}{2}) $ の粗いSDE状態において、1階実装可能な数値スキームの最適収束速度は何か？
• RQ2 修正されたEulerスキームは、$ H < \frac{1}{2} $ の場合に、粗いパスの意味で厳密に解析可能かつ収束可能であるか？
• RQ3 収束速度 $ n^{\frac{1}{2}-2H} $ は鋭いか？ また、それが正確であることを証明できるか？
• RQ4 このスキームにおける正規化誤差の漸近的分布は何か？
• RQ5 スキームとその誤差は、時間刻みサイズに依存しない範数を持つ粗いパスに持ち上げられるか？

主な発見

• 修正されたEulerスキームは、$ \frac{1}{3} < H < \frac{1}{2} $ のfBmによって駆動されるSDEに対して、収束速度 $ n^{\frac{1}{2}-2H} $ を達成する。
• この収束速度は正確であることが証明されており、与えられた仮定のもとでより速い収束速度は不可能である。
• 正規化誤差過程に対して中心極限定理が確立され、粗いパス構造のため非正規の極限分布が得られる。
• fBm、スキーム、正規化誤差の三重過程は、時間刻みサイズに一様に有界なHölder範数を持つ粗いパスに持ち上げられる。
• 本分析は、特に離散セーミング補題と粗いパスの持ち上げを用いた、重み付き確率和に対する新しい漸近的手法に依存する。
• 古典的スキームが失敗する粗い状態においても、Euler型スキームの適用範囲を拡張し、数値実装のための厳密な基礎を提供する。