[論文レビュー] First order formalism of holographic Wilsonian renormalization group: Langevin equation

Jae-Hyuk Oh|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ランジュバン方程式による確率的量子化とAdS₆空間内におけるホログラフィック・ウィルスンの重正化群（WRG）フローの間の明確な数学的対応を確立し、確率的3点関数が確率的時間tを径方向座標rに同一視した場合、コンformally coupled スカラー理論におけるホログラフィックな三重トレース演算子の径方向（エネルギースケール）フローを正確に再現することを示している。主な結果は、t = rにおける接続された確率的3点関数とホログラフィックな三重トレース演算子との完全な一致である。

ABSTRACT

We study a mathematical relationship between holographic Wilsonian renormalization group and stochastic quantization framework. We extend the original proposal given in arXiv:1209.2242 to interacting theories. The original proposal suggests that fictitious time(or stochastic time) evolution of stochastic 2-point correlation function will be identical to the radial evolution of the double trace operator of certain classes of holographic models, which are free theories in AdS space. We study holographic gravity models with interactions in AdS space and establish a map between the holographic renormalization flow of multi-trace operators and stochastic $n$-point functions. To give precise examples, we extensively study conformally coupled scalar theory in AdS$_6$. What we have found is that the stochastic time $t$ dependent 3-point function obtained from Langevin equation with its Euclidean action being given by $S_E=2I_{os}$ is identical to holographic renormalization group evolution of holographic triple trace operator as its energy scale $r$ changes once an identification of $t=r$ is made. $I_{os}$ is the on-shell action of holographic model of conformally coupled scalar theory at the AdS boundary. We argue that this can be fully extended to mathematical relationship between multi point functions and multi trace operators in each framework.

研究の動機と目的

• . 確率的量子化と相互作用を含むAdS理論におけるホログラフィック・ウィルスンの重正化群（WRG）フローとの間の数学的対応を確立すること。
• . 自由理論から相互作用理論への、確率的時間発展と径方向WRGフローとの関係を示した元の提案を拡張すること。
• . ランジュバンフレームワークにおける確率的n点関数が、ホログラフィックWRGにおける多トレース演算子に正確にマッピングされることを示すこと。
• . AdS₆における共形的カップリングスカラー理論の事例において、この双対性の明確な定量的検証を提供すること。
• . t = rの下で、確率的3点関数とホログラフィック三重トレース演算子との等価性を確認すること。

提案手法

• . ホログラフィック理論の第一順位形式を用いて、多トレース演算子のためのハミルトニアン・ジャコビ方程式およびその解を導出する。
• . 共形的カップリングスカラー理論のオンシェル作用量Iosを用い、Euclidean作用量SE = 2Iosとする確率的量子化フレームワークを適用する。
• . 白色ガウスノイズη(x,t)を伴う場演算子fp(t)のランジュバン方程式を解き、経路積分法を用いて確率的相関関数を導出する。
• . ランジュバン方程式の解とガウスノイズ相関を用い、結合定数λの摂動論的展開を用いて、一階近似までで確率的3点関数を計算する。
• . t = rの同一視を用いて、得られた確率的3点関数とWRGフローから導かれたホログラフィック三重トレース演算子を比較する。
• . 確度的積分技術とデルタ関数の制約を用いて相関関数を評価し、接続部分と非接続部分を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . ランジュバンフレームワークにおけるn点関数の確率的時間発展は、ホログラフィック・ウィルスンのRGにおける多トレース演算子の径方向発展を正確に再現するか？
• RQ2 . 確率的量子化とホログラフィックWRGの間のマッピングは、自由理論から相互作用理論へと拡張可能か？
• RQ3 . AdS₆において、確率的3点関数とホログラフィック三重トレース演算子との間には明確な数学的同等性があるか？
• RQ4 . 確率的時間tは、ホログラフィック文脈における径方向座標rとどのように関係するか？
• RQ5 . 確率的3点関数の非接続（タドル）部分と接続部分は、ホログラフィック三重トレース演算子の構造とどのように関係するか？

主な発見

• . ランジュバン方程式とSE = 2Iosを用いて計算された確率的3点関数は、t = rの同一視の下で、ホログラフィック三重トレース演算子の発展と正確に一致する。
• . 確率的3点関数の接続部分は、径方向時間tの双曲線関数と運動量依存の減衰率Gpi₂ = |pi|を含むコンactな式で与えられる。
• . 非接続（タドル）寄与は自己エネルギー補正に起因し、δ(5)(p3)δ(5)(p1 + p2)に比例しており、相互作用の存在下での非ゼロ真空期待値を反映している。
• . 結果としての全確率的3点関数は、t = rであり、積分定数を下限τ = θとする定積分によって設定された場合、ホログラフィック三重トレース演算子式（3.44）と一致する。
• . 双曲線関数の恒等式（5.119）は、確率的結果の関数形とホログラフィック演算子式との一致に不可欠である。
• . 一致は正確であり、定数項−1 + Σj (Σl Gpl₂ / (Σm Gpm₂ − 2Gpj₂)) まで、ホログラフィック解（5.120）における定積分の下限θによって正確に再現される。