[論文レビュー] First order gravity: Actions, topological terms and boundaries

Alejandro Corichi, Iraís Rubalcava-García+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 39被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、四次元におけるテトラッドおよびSO(3,1)接続変数を用いた、重力の包括的で一次形式の定式化を開発し、共変ハミルトニアン枠組み内で、微分同相変換不変なすべての項—標準的、トポロジカル的、境界項—を体系的に分析する。境界項およびトポロジカル項は、シンプレクティック構造やハミルトニアンの保存量に影響しないが、ネーター保存量に影響することを示し、重力における作用原理および境界条件に関する長年の文献上の曖昧さを解消する。

ABSTRACT

We consider first order gravity in four dimensions. In particular, we consider formulations where the fundamental variables are a tetrad $e$ and a SO(3,1) connection $\omega$. We study the most general action principle compatible with diffeomorphism invariance. This implies, in particular, considering besides the standard Einstein-Hilbert-Palatini term, other terms that either do not change the equations of motion, or are topological in nature. Having a well defined action principle also implies adding additional boundary terms, whose detailed form may depend on the particular boundary conditions at hand. We consider spacetimes that include a boundary at infinity, satisfying asymptotically flat boundary conditions and/or an internal boundary satisfying isolated horizons boundary conditions. For our analysis we employ the covariant Hamiltonian formalism where the phase space $\Gamma$ is given by solutions to the equation of motion. For each of the possible terms contributing to the action we study the well posedness of the action, its finiteness, the contribution to the symplectic structure, and the Hamiltonian and Noether charges. We show that for the chosen boundary conditions, standard boundary terms warrant a well posed theory. Furthermore, we show that the boundary and topological terms do not contribute to the symplectic structure, nor the Hamiltonian conserved charges. The Noether conserved charges, on the other hand, do depend on such additional terms. The aim of the paper is to present a comprehensive and self-contained treatment of the subject, so the style is somewhat pedagogical. Furthermore, we point out and clarify some issues that have not been clearly understood in the literature.

研究の動機と目的

• 四次元における一次形式の重力作用の自己完結的かつ包括的な取り扱いを提供すること。
• 特に漸近平坦および隔離ホライズン境界条件の下で、境界項およびトポロジカル項の役割を明確にすること。
• 共変ハミルトニアン形式を用いて、さまざまな境界条件の下での作用の適切な定義および有限性を確立すること。
• 相空間におけるシンプレクティック構造、ハミルトニアン保存量、ネーター保存量に及ぼす追加項の影響を調査すること。
• 文献におけるトポロジカル項および境界項が保存量に与える寄与に関する曖昧さを解消すること。

提案手法

• 位相空間Γが運動方程式の解からなる共変ハミルトニアン形式を用い、作用およびその変動を分析する。
• 作用に含まれるすべての微分同相変換不変項を体系的に含める：標準的アインシュタイン＝ヒルベルト＝パラティーニ項、トポロジカル項（例：ポントリャーギン類およびオイラー類）、境界項。
• 漸近平坦時空条件および隔離ホライズン境界条件の下での作用の有限性および適切な定義を分析する。
• 各項のシンプレクティック構造、ハミルトニアン保存量、ネーター保存量を計算し、物理的寄与を特定する。
• 共変位相空間法を用いて保存量を計算し、微分同相変換不変性および境界条件との整合性を検証する。
• 明示的な変分計算に基づき、境界項およびトポロジカル項がシンプレクティック構造に与える寄与（なし）とネーター保存量に与える寄与（あり）を区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 運動方程式に変更を加えず、微分同相変換不変性を破らない範囲で、一次形式の重力作用に追加可能な項は何か？
• RQ2 漸近平坦および隔離ホライズン境界条件の下で、境界項は作用の適切な定義および有限性にどのように影響するか？
• RQ3 トポロジカル項および境界項は、一次形式の重力における位相空間のシンプレクティック構造に寄与するか？
• RQ4 これらの追加項は、ハミルトニアンおよびネーター保存量にどのように影響するか？
• RQ5 境界項が一次形式の重力における適切な変分原理を保証するために果たす正確な役割は何か？

主な発見

• 境界項（例：漸近平坦性や隔離ホライズンに必要なもの）の導入により、適切に定義され有限な作用原理が保証される。
• トポロジカル項（例：ポントリャーギン項およびオイラー項）および境界項は、位相空間のシンプレクティック構造に寄与しない。
• ハミルトニアン保存量は、境界項およびトポロジカル項の追加によって影響を受けない。
• 一方、ネーター保存量は、境界項およびトポロジカル項の存在に依存しており、作用の総体的構造に非自明な依存性があることを示している。
• 本分析により、文献におけるトポロジカル項および境界項が保存量に与える役割、および作用原理に関する長年の曖昧さが解消された。
• 共変ハミルトニアン形式は、異なる項が物理的観測量に与える寄与を分離する一貫した枠組みを提供する。