[論文レビュー] First-order Logic: Modality and Intensionality

Zoran Majkić|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2011

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、性質、関係、命題（PRP）をドメインに統合することで、一階論理（FOL）に最小限の内省的拡張を提案する。2段階の内省的解釈を用いることで、標準的なタルスキ的意味論を保ちつつ内省性を埋め込む。主な貢献は、FOLの構文から内省的概念および外延的関係代数へを結ぶ可換なホモモーティック図式であり、タルスキ的真偽がより広範なフレーゲ＝ラッセルの内省的意味論の特別な場合であることを示している。

ABSTRACT

Contemporary use of the term 'intension' derives from the traditional logical Frege-Russell's doctrine that an idea (logic formula) has both an extension and an intension. From the Montague's point of view, the meaning of an idea can be considered as particular extensions in different possible worlds. In this paper we analyze the minimal intensional semantic enrichment of the syntax of the FOL language, by unification of different views: Tarskian extensional semantics of the FOL, modal interpretation of quantifiers, and a derivation of the Tarskian theory of truth from unified semantic theory based on a single meaning relation. We show that not all modal predicate logics are intensional, and that an equivalent modal Kripke's interpretation of logic quantifiers in FOL results in a particular pure extensional modal predicate logic (as is the standard Tarskian semantics of the FOL). This minimal intensional enrichment is obtained by adopting the theory of properties, relations and propositions (PRP) as the universe or domain of the FOL, composed by particulars and universals (or concepts), with the two-step interpretation of the FOL that eliminates the weak points of the Montague's intensional semantics. Differently from the Bealer's intensional FOL, we show that it is not necessary the introduction of the intensional abstraction in order to obtain the full intensional properties of the FOL. Final result of this paper is represented by the commutative homomorphic diagram that holds in each given possible world of this new intensional FOL, from the free algebra of the FOL syntax, toward its intensional algebra of concepts, and, successively, to the new extensional relational algebra (different from Cylindric algebras), and we show that it corresponds to the Tarski's interpretation of the standard extensional FOL in this possible world.

研究の動機と目的

• タルスキ的意味論が真偽値を超えた意味を捉えるのに限界を示すこと、特に自然言語および知的情報システムにおいて。
• 模态述語論理と内省的論理の違いを明確にし、すべての模态論理が内省的であるわけではないことを示すこと。
• 標準的な構文を保ちつつ、内省的抽象化を必要としない形で、FOLに最小限の句法学的拡張を施すこと。
• モンテーグの可能世界意味論とタルスキの真偽理論を、PRP理論に基づく2段階の解釈によって統一すること。
• 内省性が拡張的論理を置き換えるものではなく一般化する形式的枠組みを確立し、セマンティックウェブやP2Pデータベースへの応用を可能にすること。

提案手法

• 2段階の内省的解釈を採用する：まずFOL構文を内省的概念（PRP）に写像し、次にそれらを外延的関係代数へと写像する外延化関数を経由する。
• FOLのドメインを個別的対象と普遍的対象（PRP）のユニバースとする。標準的な集合論的ドメインに代わり、性質、関係、命題の概念的ドメインを導入する。
• モンテーグ風の内省的意味論を用い、論理式の内省的意味は、可能な世界（仮定Γ下のタルスキ的モデル）から外延への関数として定義する。
• 内省的代数と、シリンダ代数とは異なる新しい外延的関係代数（cylindric algebrasとは別個）を構築し、内省的FOLの論理的構造をモデル化する。
• FOL構文の自由代数から内省的概念へ、そして外延的代数へを結ぶ可換なホモモーティック図式（補題3）を確立し、各可能な世界においてタルスキ的意味論と整合することを保証する。
• クリッケの模态的FOL（量化子を模态的演算子として扱う）は、標準的FOLと同等であり、純粋な外延的論理であることが証明され、自体では内省的ではない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの模态述語論理が実際に内省的であり、純粋な外延的模态論理とは何が異なるのか？
• RQ2 構文を変更せず、内省的抽象化を導入せず、FOLに最小限の内省的拡張を達成できるか？
• RQ3 フレーゲ＝ラッセルの意味論に基づく統一的内省的枠組み内で、タルスキの真偽意味論を形式的に一般化できるか？
• RQ4 仮定Γ下でのFOLの可能世界が、内省的意味を定義するために果たす役割は何か？
• RQ5 内省的FOLから標準的FOLへの変換は可能か？ そしてこれは内省的意味論の論理的強度について何を示唆するか？

主な発見

• すべての模态述語論理が内省的であるわけではない。内省的解釈が適切に定義された厳密な部分集合のみが、真の内省的行動を示す。
• 量化子を模态的演算子として扱うクリッケ風の模态的FOLは、標準的タルスキ的FOLと同等であり、純粋な外延的論理であるため、内省的ではない。
• 模态的FOL Kを標準的FOLに変換すると、可能な世界が代入に依存する関数的依存性のため、2階論理式が生じ、論理的により強力な体系になる。
• PRP理論をドメインとして採用し、2段階の解釈を用いることで、内省的抽象化を必要とせず、FOLに最小限の内省的拡張が達成される。
• 新しい内省的FOL（FOL I）のグローバル論理的推論関係は、標準的タルスキ的含意関係と同一であり、論理的強度が保たれる。
• FOL構文の自由代数、内省的概念の代数、外延的関係代数との間に可換なホモモーティック図式（補題3）が確立され、タルスキ的真偽がより広範な内省的意味論の世界特異的導出例であることが示された。