[論文レビュー] First-Order Methods for Large-Scale Market Equilibrium Computation

Yuan Gao, Christian Kroer|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Advanced Bandit Algorithms Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、線形、準線形、Leontief効用関数の下で大規模市場均衡計算のための1次最適化手法を提案する。多面体集合上の滑らかで凸な最適化問題に均衡問題を再定式化することにより、弱化された強凸性およびProximal-PL条件の下で、投影勾配法および近位勾配法に線形収束性を確立した。同時に、新しいミラー降下の変種を導入し、部分線形な最終反復収束を達成するとともに、割合応答ダイナミクスを回復する。

ABSTRACT

Market equilibrium is a solution concept with many applications such as digital ad markets, fair division, and resource sharing. For many classes of utility functions, equilibria can be captured by convex programs. We develop simple first-order methods suitable for solving these convex programs for large-scale markets. We focus on three practically-relevant utility classes: linear, quasilinear, and Leontief utilities. Using structural properties of market equilibria under each utility class, we show that the corresponding convex programs can be reformulated as optimization of a structured smooth convex function over a polyhedral set, for which projected gradient achieves linear convergence. To do so, we utilize recent linear convergence results under weakened strong-convexity conditions, and further refine the relevant constants in existing convergence results. Then, we show that proximal gradient (a generalization of projected gradient) with a practical linesearch scheme achieves linear convergence under the Proximal-PL condition, a recently developed error bound condition for convex composite problems. For quasilinear utilities, we show that Mirror Descent applied to a new convex program achieves sublinear last-iterate convergence and yields a form of Proportional Response dynamics, an elegant, interpretable algorithm for computing market equilibria originally developed for linear utilities. Numerical experiments show that Proportional Response dynamics is highly efficient for computing approximate market equilibria, while projected gradient with linesearch can be much faster when higher-accuracy solutions are needed.

研究の動機と目的

• デジタル広告市場やリソース共有の応用分野における大規模市場均衡問題の計算的課題に対処すること。
• 線形、準線形、Leontiefの3つの主要な効用クラスにおいて生じる凸計画問題に特化した効率的な1次最適化手法を開発すること。
• 弱化された強凸性の条件下で、精密化された定数と最近の収束理論を用いて、投影勾配法および近位勾配法の線形収束保証を確立すること。
• 最適化アルゴリズムと経済的ダイナミクスを結びつけるために、ミラー降下を新しい凸計画問題に適用し、準線形効用における割合応答ダイナミクスを回復すること。
• 数値実験を通じて、これらの手法の実用的効率を評価し、異なる精度要件における精度と速度のトレードオフを比較すること。

提案手法

• 各効用クラスにおける市場均衡問題を、多面体集合上の滑らかで凸な最適化問題に再定式化し、1次最適化手法の適用を可能にする。
• 弱化された強凸性条件と精密化された収束定数を活用して、ラインサーチ付きの投影勾配降下を適用し、線形収束を達成する。
• Proximal-PL条件の下でラインサーチ付きの近位勾配法を適用し、効用クラスに由来する合成凸問題に対して線形収束を保証する。
• 準線形効用のための新しい凸計画問題の定式化を導入し、これにミラー降下を適用することで、部分線形な最終反復収束率を達成する。
• 導出されたミラー降下のダイナミクスが、元来線形効用のための設計がなされた解釈可能で洗練されたアルゴリズムである割合応答ダイナミクスに一致することを示す。
• 割合応答とラインサーチ付きの投影勾配法の数値的性能を、精度要件の変化に応じて実装・比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形、準線形、Leontief効用関数の下で、1次最適化手法は大規模市場均衡問題に対して線形収束を達成できるか？
• RQ2 弱化された強凸性条件およびProximal-PL条件は、これらの市場均衡問題における収束保証にどのように影響するか？
• RQ3 新しい凸計画問題にミラー降下を適用することで、準線形効用における割合応答ダイナミクスを回復できるか？また、その収束速度はどのようになるか？
• RQ4 計算速度と解の精度の間の実用的トレードオフは、割合応答とラインサーチ付きの投影勾配法の間でどのように異なるか？
• RQ5 異なる効用関数における市場均衡の構造的性質は、1次最適化に適した滑らかで凸な計画問題への効率的再定式化をどのように可能にするか？

主な発見

• ラインサーチ付きの投影勾配法は、弱化された強凸性と精密化された収束定数を活用することで、3つのすべての効用クラスに対して線形収束を達成する。
• ラインサーチ付きの近位勾配法はProximal-PL条件の下で線形収束を達成し、合成凸問題におけるその性能の理論的基盤を提供する。
• 新しい凸計画問題にミラー降下を適用することで、部分線形な最終反復収束率が得られるとともに、割合応答ダイナミクスが回復される。
• 数値実験の結果、割合応答ダイナミクスは近似市場均衡の計算において極めて効率的であることが示された。
• 高精度な解を必要とする状況では、ラインサーチ付きの投影勾配法が割合応答法を著しく上回る速度を示した。
• 多面体集合上の滑らかで凸な計画問題への市場均衡の再定式化により、強力な収束保証を持つ高度な1次最適化手法の適用が可能になった。