[論文レビュー] First-Order Model Checking on Generalisations of Pushdown Graphs

Alexander Kartzow|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2011

Formal Methods in Verification被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、2レベルの折りたたみ可能ポップダウングラフとネスト型ポップダウン木の2つの一般化における一階論理（FO）モデルチェックの決定可能性を確立する。2レベルの折りたたみ可能ポップダウングラフに対して、木オートマトンに基づく表現を導入し、FO解釈を用いてネスト型ポップダウン木上のモデルチェックを折りたたみ可能ポップダウングラフ上のモデルチェックに還元することで、二重指数時間の空間内での決定可能性を示した。主な貢献は、高次およびネスト型ポップダウン構造における決定可能論理断片を扱う一様なFOモデルチェックの枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

We study the first-order model checking problem on two generalisations of pushdown graphs. The first class is the class of nested pushdown trees. The other is the class of collapsible pushdown graphs. Our main results are the following. First-order logic with reachability is uniformly decidable on nested pushdown trees. Considering first-order logic without reachability, we prove decidability in doubly exponential alternating time with linearly many alternations. First-order logic with regular reachability predicates is uniformly decidable on level 2 collapsible pushdown graphs. Moreover, nested pushdown trees are first-order interpretable in collapsible pushdown graphs of level 2. This interpretation can be extended to an interpretation of the class of higher-order nested pushdown trees in the collapsible pushdown graph hierarchy. We prove that the second level of this new hierarchy of nested trees has decidable first-order model checking. Our decidability result for collapsible pushdown graph relies on the fact that level 2 collapsible pushdown graphs are uniform tree-automatic. Our last result concerns tree-automatic structures in general. We prove that first-order logic extended by Ramsey quantifiers is decidable on all tree-automatic structures.

研究の動機と目的

• 高次および折りたたみ可能ポップダウングラフにおける到達可能性およびラムゼー量化子を含む一階論理の決定可能性を検討する。
• 高次ネスト型ポップダウン木の新しい階層を導入することで、モデルチェックの枠組みをネスト型ポップダウン木へ拡張する。
• FO解釈を通じて、ネスト型ポップダウン木、折りたたみ可能ポップダウングラフ、高次ポップダウングラフの間の関係を確立する。
• 2レベルの折りたたみ可能ポップダウングラフおよびその拡張におけるFOモデルチェックの決定可能性を一様に示す。
• ラムゼー量化子を用いて、語自動的構造から木自動的構造への決定可能性結果の一般化を行う。

提案手法

• すべての2レベルの折りたたみ可能ポップダウングラフに対して、木オートマトン表現を構築し、効果的なモデルチェックを可能にする。
• ネスト型ポップダウン関係と高次スタックを組み合わせることで、高次ネスト型ポップダウン木の新しい階層を定義する。
• 一階論理の解釈を用いて、高次ネスト型ポップダウン木をレベルl+1の折りたたみ可能ポップダウングラフに埋め込む。
• 木自動的構造上で、正則な到達可能性述語およびラムゼー量化子を拡張した一階論理の決定可能性を証明する。
• Kuskeとの共同作業に基づく一般化されたモデル理論的技法を応用し、木自動的構造上での決定可能性を示す。
• ゲーム的およびオートマトン的技法を用いて、複雑なスタック操作が存在する状況下での定義可能性と表現可能性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2レベルの折りたたみ可能ポップダウングラフにおける一階論理モデルチェックは、到達可能性およびラムゼー量化子を含む場合に決定可能か？
• RQ2 ネスト型ポップダウン木のモデルチェック問題は、折りたたみ可能ポップダウングラフの問題に還元可能か？ その計算量はいかほどか？
• RQ3 一階論理の解釈を通じて、高次ポップダウングラフ、折りたたみ可能ポップダウングラフ、ネスト型ポップダウン木の階層はどのように関連しているか？
• RQ4 木自動的構造の文脈において、ラムゼー量化子の追加が決定可能性を保つのか？
• RQ5 オートマトン的表現を用いて、高次およびネスト型ポップダウンシステムにおける一様なモデルチェック枠組みを確立できるか？

主な発見

• 正則な到達可能性述語およびラムゼー量化子を拡張した一階論理モデルチェックは、2レベルの折りたたみ可能ポップダウングラフ上で決定可能である。
• ネスト型ポップダウン木上の一階論理モデルチェックの計算量は、空間的に二重指数的であり、このような構造の上界と一致する。
• レベルlの任意のネスト型ポップダウン木は、レベルl+1の折りたたみ可能ポップダウングラフからの一階論理解釈によって定義可能である。
• レベルlの高次ネスト型ポップダウン木は、レベルl+1の折りたたみ可能ポップダウングラフにおいて一階論理で解釈可能であり、構造的階層を確立する。
• ラムゼー量化子を拡張した一階論理は、木自動的構造上で決定可能であり、従来の語自動的構造への結果を一般化する。
• 高次ネスト型ポップダウン木のクラスは、レベルl+1の折りたたみ可能ポップダウングラフのクラスに含まれており、したがって決定可能性の性質を継承する。