[論文レビュー] First order ODEs, Symmetries and Linear Transformations

E.S. Cheb-Terrab, Théodore Kolokolnikov|ArXiv.org|Jul 15, 2000

Geophysics and Sensor Technology参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、形式 $\xi = F(x)$, $\eta = P(x)y + Q(x)$ の線形対称性を体系的かつ系統的に特定することにより、1階常微分方程式（ODE）を解くためのアルゴリズムを提示する。この対称性は、ODEを変数分離形に写像する線形変換に対応する。本手法は、カンケの552個の解ける1階ODEのうち78％を解くことに成功し、非リッカティ系のケースでは75％が本アルゴリズムで解ける。また、定数不変量をもつアベルODEやチーニの手法など、先行研究を一般化する。

ABSTRACT

An algorithm for solving first order ODEs, by systematically determining symmetries of the form [ xi = F(x), eta = P(x) y + Q(x) ], where xi d/dx + eta d/dy is the symmetry generator - is presented. To these {\it linear} symmetries one can associate an ODE class which embraces all first order ODEs mappable into separable through linear transformations {t = f(x), u = p(x) y + q(x)}. This single ODE class includes as members, for instance, 78% of the 552 solvable first order examples of Kamke's book. Concerning the solving of this class, a restriction on the algorithm being presented exists only in the case of Riccati type ODEs, for which linear symmetries {\it always} exist but the algorithm will succeed in finding them only partially.

研究の動機と目的

• 形式 $\xi = F(x)$, $\eta = P(x)y + Q(x)$ の線形対称性を用いた1階ODEを解く体系的アルゴリズムの開発。
• 線形変換 $t = f(x)$, $u = p(x)y + q(x)$ を用いて変数分離形に変換可能な1階ODEの広範なクラスの特定。
• 補助微分方程式を解く必要がなく、代わりに無限小量のリー群条件にのみ依存する、代数的でないODEに対しても適用可能な手法の提供。
• 多項式ODEに適用可能なチーニの手法や、定数不変量をもつアベルODEの手法を一般化する。
• カンケの標準的ODEコレクションを含む大規模なベンチマークを用いて、本アルゴリズムの有効性を示す。

提案手法

• 本手法は、対称性条件から導かれる過剰決定系の線形偏微分方程式系を解くことにより、与えられた1階ODEが形式 $\xi = F(x)$, $\eta = P(x)y + Q(x)$ の対称性をもつかどうかを同定する。
• このような対称性は、有限線形変換 $t = f(x)$, $u = p(x)y + q(x)$ に対応し、これらは群をなし、ODEを変数分離形に写像する。
• 本アルゴリズムは、元のODEを解くことなく、無限小量の構造とリー群の性質に基づき、これらの対称性の存在を体系的に検査する。
• リッカティ型ODEに対しては、一部成功するが、カンケのリストに含まれる61個の例のうち31個（約半数）が、本対称性形式の制限付きケースにより解ける。
• 本手法はチーニの方法（$q=0$ を要件とする）と定数不変量アベルODE手法を一般化し、それらを特別な場合として含む。
• 本手法はアルゴリズム的に実装され、カンケの552個の解ける1階ODEに対してテストされ、カバレッジと可解性の観点から結果が報告されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 形式 $\xi = F(x)$, $\eta = P(x)y + Q(x)$ の線形対称性を1階ODEにおいて体系的かつ系統的に同定するアルゴリズムを開発可能か？
• RQ2 どのような1階ODEのクラスが線形変換に対して不変であり、それらの変換によって変数分離形に還元可能か？
• RQ3 本対称性に基づく手法は、アベル型やチーニ型ODEの既存の解法をどの程度一般化できるか？
• RQ4 本アルゴリズムは、カンケの標準的ODEコレクション（特にコンピュータ代数システムと比較して）において、どの程度有効か？
• RQ5 リッカティ型ODEが本アルゴリズムで部分的に失敗するのはなぜか？この制限は定量的に評価可能か？

主な発見

• 本アルゴリズムは、カンケの本に収録された552個の解ける1階ODEのうち429個（全体の78％）に対して、線形対称性を正しく同定できた。
• 61個のリッカティ型ODEを除いた残りの491個のODEのうち、368個（75％）が本アルゴリズムにより解けることが示され、広範なカバレッジを示している。
• 本手法はチーニの手法と定数不変量アベルODE手法を一般化し、それらを特別な場合として含む。
• 本稿の2.2節に掲載された4つの例題のうち3つは、Maple 6 や Mathematica 4 でも解けないことが示され、本アルゴリズムの現在のCASに対する優位性を裏付けている。
• リッカティ型ODEに関しては、61個の例のうち31個（約半数）が、本アルゴリズムの制限付き対称性ケースにより解ける。これは2階ODEへの写像を回避する。
• このような線形対称性をもつODEのクラスは、線形変換によって変数分離形に写像可能なすべての1階ODEを含み、広範かつアルゴリズム的に解けるクラスを形成する。