[論文レビュー] First passage percolation and competition models

Nathaniel Blair-Stahn|arXiv (Cornell University)|May 4, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 46被引用数 25

ひとこと要約

本稿は整数格子 ℤ^d における最初到着遂行（FPP）および競争モデル、特に二種類のリチャードソン・モデルとの関連を調査する。共存（両種の同時生存）が正の確率で発生するのは、高々可算個の成長率比 λ に対してのみであり、相対的な成長率と初期幾何構造に応じて、無限大初期集合（超平面や半直線など）から始まる場合の共存の鋭い条件を提示する。

ABSTRACT

This paper is a survey of various results and techniques in first passage percolation, a random process modeling a spreading fluid on an infinite graph. The latter half of the paper focuses on the connection between first passage percolation and a certain class of stochastic growth and competition models.

研究の動機と目的

• ℤ^d における最初到着遂行（FPP）の基礎的かつ最近の結果を統合する。特に通過時間分布および形状定理に焦点を当てる。
• FPP と確率的成長／競争モデルとの関連、特にリチャードソン・モデルとの関連を検討する。
• ℤ^d 上の確率的成長過程において、二種の競合する種が共存できる条件を特定する。
• 超平面や半直線などの無限大初期配置から始まる場合の共存確率を分析する。
• 指数分布以外の i.i.d. 通過時間分布への共存結果の拡張を、確率的比較性のもとで行う。

提案手法

• 部分加法的エルゴード定理を用いて、FPP における成長クラスタの決定的極限形状の存在を確立する。
• 形状定理および大偏差バウンドを適用し、一様型 FPP プロセスにおけるクラスタ成長を分析する。
• 通過時間の異なる分布を用いた FPP を用いて二種の種の競争をモデル化し、通過時間を感染または成長率として解釈する。
• カップリング論法および初期配置における単調性を用いて、異なる初期集合間での生存確率を比較する。
• Fubini の定理および測度論的議論を用いて、共存が高々可算個の成長率比 λ に対してのみ発生可能であることを示す。
• 確率的比較性のもとで指数分布から一般の i.i.d. 通過時間分布への結果の拡張を行い、共存がまれであり、占領空間の密度が非対称であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期集合が超平面 H\{0} または半直線 L\{0} である場合、二種類のリチャードソン過程において共存がどのような条件下で発生するか。
• RQ2 初期集合が無限大である場合、相対的成長率（λ₁ 対 λ₂）が共存を決定づける役割を果たすか。
• RQ3 初期配置の幾何構造（例：H または L）が共存の可能性に与える影響は何か。
• RQ4 遅い種が無限大初期集合から始まり、速い種が点から始まる場合、共存が正の確率で発生しうるか。
• RQ5 通過時間分布の確率的比較性が、多様な FPP モデルにおける共存に与える影響は何か。

主な発見

• 二種類のリチャードソン過程において、初期集合が超平面 H\{0} の場合、共存が正の確率で発生するのは λ₁ < λ₂ である場合に限る。初期集合が半直線 L\{0} の場合、共存が正の確率で発生するのは λ₁ ≤ λ₂ の場合に限る。
• 超平面 H\{0} の場合、λ₁ ≥ λ₂ では共存が不可能である。これは、速い種が遅い種を無視できないほど圧倒するためであり、無限大初期集合であっても同様である。
• 初期集合が半直線 L\{0} の場合、λ₁ = λ₂ であっても幾何的制約のおかげで遅い種が存続可能であり、共存が可能である。
• 共存確率が正であるのは、高々可算個の λ の値に対してのみであり、パrameter空間において共存はまれな出来事であることを示唆する。
• 確率的比較性が成り立つ場合、遅い種が生存するならば、速い種は d=2 においてほとんど至るところが零密度の集合しか占領できない。共存は高々可算個のパrameterに対してのみ可能である。
• d=2 および i.i.d. 通過時間の下では、ほとんど確実に一方の種が全密度を占領し、他方が零密度を占領する。空間占領における強い非対称性が確認される。