[論文レビュー] First passage problems for upwards skip-free random walks via the $\Phi,W,Z$ paradigm.

Florin Avram, Matija Vidmar|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2017

Probability and Risk Models参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、上向きに飛躍しない離散時間の確率ウォークに対して、一元的な Φ, W, Z スケール関数フレームワークを構築する。連続時間におけるスペクトル的に負の Lévy 確率過程の理論を離散的設定に拡張し、本稿ではこの文脈で初めて Z スケール関数を導入する。このフレームワークを用いて、複合二項リスクモデルにおける配当および自己資本注入の最適化問題を解き、母関数と変換を用いて閉形式の解を提供する。

ABSTRACT

We develop the theory of the $W$ and $Z$ scale functions for right-continuous (upwards skip-free) discrete-time discrete-space random walks, along the lines of the analogue theory for spectrally negative L\'evy processes. Notably, we introduce for the first time in this context the one and two-parameter scale functions $Z$, which appear for example in the joint problem of deficit at ruin and time of ruin, and in problems concerning the walk reflected at an upper barrier. Comparisons are made between the various theories of scale functions as one makes time and/or space continuous. The theory is shown to be fruitful by providing a convenient unified framework for studying dividends-capital injection problems under various objectives, for the so-called compound binomial risk model of actuarial science.

研究の動機と目的

• 連続的かつスペクトル的に負の Lévy 確率過程に対して既に開発済みの Φ, W, Z スケール関数理論を、離散時間・離散空間・上向きに飛躍しないランダムウォークに拡張すること。
• 本稿では、離散的設定において初めて二パラメータの Z スケール関数を導入・形式化し、破綻時の不足額および自己資本注入問題の解析を可能にする。
• 離散的・格子連続的・連続時間におけるスペクトル的に負の過程の間で、第一到達問題を比較的フレームワークを通じて統一すること。
• 開発された理論を用いて、de Finetti の配当最適化問題や、配当と自己資本注入の両方を最適化する複合的アクチュアリー最適化問題を解くこと。
• 母関数と変換を用いて計算的に扱いやすい解を提供し、市販のツールを用いた数値的実装を可能にすること。

提案手法

• 右連続かつ上向きに飛躍しないランダムウォークに対して、母関数とローラン級数の因数分解を用いて、ルンバーゴの式および関連するスケール関数（Φ, W, Z）を導出する。
• 式 (17) に示す z 変換を用いて Z スケール関数を導入し、上界境界での殺滅を伴う破綻時刻と破綻時の不足額の共同解析を可能にする。
• モーメント生成関数と二重変換を用いて、W 関数および Z 関数を用いて破綻確率、配当分布、自己資本注入の期待値を計算する。
• バリア影響関数 1/ΔWv(b) およびその修正版（例：(1−kΔZ1,v(b))/ΔWv(b)）を用いて、最適なマルチバンド配当政策を特定する。
• パンジェル再帰と母関数技術を用いて、離散モデルにおける複合分布を効率的に計算する。
• 具体的な例を通じて結果を検証し、古典的ギャンブラーの破綻、幾何的損害、マルチバンド政策を含む、Wv および Zv 数列の数値的計算を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 上向きに飛躍しない離散的ランダムウォーク設定において、Z スケール関数はどのように定義され、計算されるのか。この文脈では、以前は存在しなかった。
• RQ2 離散的・格子連続的・連続時間におけるスペクトル的に負の過程において、Φ, W, Z スケール関数の関係は何か。
• RQ3 W 関数および Z 関数を用いて、自己資本注入を伴う de Finetti の配当最適化問題をどのように解くことができるか。
• RQ4 複合二項リスクモデルにおける最適なマルチバンド配当政策の構造は何か。また、バリア影響関数にどのように依存するか。
• RQ5 配当の最大化と自己資本注入の最小化を同時に最適化する目的関数を、二重に反射された過程を用いて最適化できるか。その結果得られる最適バリア政策はどのようなものか。

主な発見

• 本稿では、上向きに飛躍しない離散的ランダムウォークの文脈において、Z スケール関数を初めて導入し、その z 変換を明示的に導出している（式 17）。
• c=1 の複合二項モデルにおいて、スケール関数 Wv(x) および Zv(x) は、ルンバーゴ方程式の根を用いて閉形式で表現される：Wv(x) = 1/(kv(Rv−ϕv))(ϕv−x−1−Rv−x−1)、Zv(x) は ϕv および Rv の有理関数として与えられる。
• 最終的破綻確率は Ψ(x) = Ψ(0)R−x = (1−(1−EC1)/p0)R−x で与えられ、R>1 であり、x∈N0 に対して成り立つ。Ψ(0)=R−1 は α=0 の場合に成立する。
• モリルの例（p0=12/13, p1=1/13）では、バリア影響関数 1/ΔWv(b) を用いて、継続集合が b*=0 および b*=2 であるマルチバンド最適配当政策が特定された。
• 修正された de Finetti 目的関数（k=3.2）では、バリア影響関数 (1−kΔZ1,v(b))/ΔWv(b) は単峰的となり、全般的な最大値が b*=2 にシフトし、一意の最適バリアを示している。
• ゲルバー＝シャオ＝ヤンの例（損害額が 0,1,2,7）では、純粋な de Finetti 目的関数では局所的最大値が複数存在する（b*=1,7,38）が、自己資本注入を伴う（k=1.2）場合、複合目的関数により単峰的なバリア影響関数が得られ、全般的な最大値が b*=41 に位置し、妥協的解が得られている。