[論文レビュー] First passage times of Lévy processes over a one-sided moving boundary

Frank Aurzada, Tanja Kramm+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 33被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、負のジャンプに正の活動性を示す Lévy 確率過程に対して、片側の移動境界 $ f(t) = 1 \pm t^\gamma $ を超える最初の通過時刻が、$ \gamma < 1/2 $ のとき、Spitzer の条件を要件とせず、定数境界の場合と漸近的に同じ挙動を示すことを確立している。主な貢献は、弱いモーメントおよびパスの正則性の仮定の下で、生存確率の漸近的同等性を確立したことであり、これはブラウン運動および Lévy 確率過程に対する既存の結果を拡張するものである。

ABSTRACT

We study the asymptotic behaviour of the tail of the distribution of the first passage time of a Lévy process over a one-sided moving boundary. Our main result states that if the boundary behaves as $t^γ$ for large $t$ for some $γ&lt;1/2$ then the probability that the process stays below the boundary behaves asymptotically as in the case of a constant boundary. We do not have to assume Spitzer's condition in contrast to all previously known results. Both positive ($+t^γ$) and negative ($-t^γ$) boundaries are considered. These results extend the findings of Greenwood and Novikov (1986) and are also motivated by results in the case of Brownian motion, for which the above result was proved in Uchiyama (1980).

研究の動機と目的

• 片側移動境界上での Lévy 確率過程の最初の通過時刻の漸近的挙動を特定すること。
• ブラウン運動に対する既知の結果を、Spitzer の条件を要件としない一般の Lévy 確率過程へ拡張すること。
• 特に $ \gamma < 1/2 $ のとき、$ t^\gamma $ 形式の移動境界に対する生存指数を同定すること。
• 弱いモーメントおよびパスの正則性条件の下で、移動境界に対する持久指数が定数境界と一致することを確立すること。

提案手法

• フラクチュエーション理論およびパス分解技術を用いて、最初の通過時刻分布を分析する。
• 繰り返し関数型 $ H^n_2 $ を用いた反復的推定スキームを適用し、境界を越える確率を評価する。
• dyadic インターバル上での離散化およびチェインジングの議論を用いて、時間的におけるプロセスの最大値を制御する。
• 再生理論およびラッダーヘイトプロセスを用いて、定数境界確率との比較議論を展開する。
• 特に Lévy 測度およびドリフトを含む Lévy 確率過程のモーメント推定および尾確率の境界を用いる。
• 定数境界の場合に既知の $ T^{-\delta + o(1)} $ 減衰と $ \mathbb{P}(X(t) \leq 1 + f(t)) $ の境界を組み合わせることで、漸近的同等性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 移動境界 $ f(t) = 1 \pm t^\gamma $ を超える最初の通過時刻が、定数境界の場合と同一の漸近的減衰率を示す条件は何か？
• RQ2 Spitzer の条件を仮定しないで、移動境界上での Lévy 確率過程の生存指数を同定できるか？
• RQ3 負のジャンプの存在が、非線形に増加する境界上での持続的挙動に与える影響は何か？
• RQ4 Lévy 測度の尾の挙動が、境界越え確率の減衰率に果たす役割は何か？
• RQ5 強いモーメントまたは指数モーメントの仮定なしに、$ \gamma < 1/2 $ のとき、移動境界と定数境界の生存確率の漸近的同等性を確立できるか？

主な発見

• $ \gamma < 1/2 $ のとき、Lévy 確率過程が負のジャンプに正の活動性を示し、かつ定数境界の場合に $ \mathbb{P}(X(t) \leq 1, \, 0 \leq t \leq T) = T^{-\delta + o(1)} $ を満たす限り、生存確率 $ \mathbb{P}(X(t) \leq 1 - t^\gamma, \, 0 \leq t \leq T) $ は $ T^{-\delta + o(1)} $ に漸近的に減少する。
• Spitzer の条件を要件としないため、$ \mathbb{P}(X(t) > 0) \to \rho \in (0,1) $ を仮定する既存の結果を一般化する。
• 正の境界 $ f(t) = 1 + t^\gamma $ の場合、Lévy 確率過程が正および負のジャンプを両方持つという追加仮定の下で、同じ減衰率 $ T^{-\delta + o(1)} $ が成立する。
• 本証明手法は積分テストや Cramér 型の条件を避けており、代わりにパスごとの推定および最大過程に関する反復的境界に依存する。
• 主要な技術的ステップは、$ \mathbb{P}(X(t) \leq 1 + (\ln T)^6, \, 1 \leq t \leq T) \leq T^{-\delta + o(1)} $ を示すことであり、これはモーメントおよび尾の推定によって確立される。
• 負のジャンプの代わりに、$ T_0 \in (1, T^{o(1)}) $ が存在して $ \mathbb{P}(X(T_0) \leq - (\ln T)^5) \geq T^{o(1)} $ を満たすという条件でも十分であり、これにより、スペクトル的に正の Lévy 確率過程への適用範囲が拡張される。