[論文レビュー] First passage times of two-dimensional correlated diffusion processes: analytical and numerical methods

Laura Sacerdote, Massimiliano Tamborrino+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2012

Diffusion and Search Dynamics被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、2次元の相関付き拡散過程の最初の通過時刻の同時密度を計算する数値的手法を開発し、問題を第一種のボルテラ＝フレドホルム積分方程式系として定式化する。この手法は任意の2次元過程に対して収束性が保証されており、明示的な解析的表現を用いて、先行研究における誤りを是正する。

ABSTRACT

Given a two-dimensional correlated diffusion process, we determine the joint density of the first passage times of the process to some constant boundaries. This quantity depends on the joint density of the first passage time of the first crossing component and of the position of the second crossing component before its crossing time. First we show that the these densities are solutions of a system of Volterra-Fredholm first kind integral equations. Then we propose a numerical algorithm to solve it and we describe how to use the algorithm to approximate the joint density of the first passage times. The convergence of the method is theoretically proved for any bivariate process. We also derive explicit expressions for these and other quantities of interest in the case of a bivariate Wiener process, correcting some previous misprints appearing in the literature. Finally we illustrate the application of the method through a set of examples.

研究の動機と目的

• 2次元の相関付き拡散過程の最初の通過時刻の同時密度を特定すること。
• 1つの成分の最初の通過時刻と、その時点で2番目の成分の位置との間の依存関係をモデル化すること。
• 得られた積分方程式を解くための数値的に安定なアルゴリズムを開発すること。
• 2次元ウィーナー過程のケースにおける文献に知られる誤植を是正すること。
• 最初の通過時刻密度の明示的な解析的表現と数値近似を提供すること。

提案手法

• 最初の通過時刻の同時密度を、第一種のボルテア＝フレドホルム積分方程式系の解として定式化する。
• 最初の通過時刻の同時密度と、その時点で2番目の成分の位置の同時密度に基づいて、積分方程式を導出する。
• 積分方程式系を解くための数値アルゴリズムを提案する。
• 任意の2次元拡散過程に対して、この数値的手法の理論的収束性を証明する。
• この手法を2次元ウィーナー過程に適用し、先行研究における誤りを是正する明示的な表現を導出する。
• 数値例を用いて、手法の精度と適用可能性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の2次元相関付き拡散過程に対して、最初の通過時刻の同時密度をどのように計算できるか。
• RQ2 最初の通過時刻と、その時点で2番目の成分の状態の同時分布を記述する積分方程式系は何か。
• RQ3 一般の2次元過程に対して、収束性を示す数値アルゴリズムを構築できるか。
• RQ4 2次元ウィーナー過程のケースにおける最初の通過時刻密度の正しい解析的表現は何か。また、それらはどのように既存の誤りを是正するか。
• RQ5 提案手法は実際の数値例においてどのように性能を発揮するか。

主な発見

• 最初の通過時刻の同時密度が、第一種のボルテア＝フレドホルム積分方程式系によって支配されることを示した。
• 任意の2次元拡散過程に対して収束性が保証される数値的安定なアルゴリズムが開発され、理論的に証明された。
• 2次元ウィーナー過程に対して明示的な解析的表現が導出され、先行文献における既知の誤植が是正された。
• この手法により、相関付き拡散過程の最初の通過時刻密度の高精度な数値近似が可能になった。
• 数値例から、手法の有効性と実用的応用における信頼性が示された。
• 本手法は、2次元拡散モデルにおける最初の通過時刻解析の統一的フレームワークを提供する。