[論文レビュー] First Reduce or First Quantize? A Lagrangian Approach and Application to Coset Spaces

C. Ordóñez y J. M Pons|ArXiv.org|Aug 16, 1993

Advanced Topics in Algebra参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、制約を伴う第一級ハミルトニアン系における還元と量子化の順序について検討し、ラグランジュ的枠組みを用いて『まず還元してから量子化する』手法と『まず量子化してから還元する』（ディラックの）手法を比較する。本稿は、ディラック法に新たな曖昧性を明らかにし、ディラックの propagator と全空間 propagator の明確な関係を確立する。これは、特に $S^2 = SU(2)/U(1)$ におけるコンパクトなリー群の商空間上での量子化において、完全な自己整合性と等価性を示している。

ABSTRACT

A Lagrangian treatment of the quantization of first class Hamiltonian systems with constraints and Hamiltonian linear and quadratic in the momenta respectively is performed. The ``first reduce and then quantize'' and the ``first quantize and then reduce'' (Dirac's) methods are compared. A new source of ambiguities in this latter approach is revealed and its relevance on issues concerning self-consistency and equivalence with the ``first reduce'' method is emphasized. One of our main results is the relation between the propagator obtained {\it à la Dirac} and the propagator in the full space, eq. (5.25).As an application of the formalism developed, quantization on coset spaces of compact Lie groups is presented. In this case it is shown that a natural selection of a Dirac quantization allows for full self-consistency and equivalence. Finally, the specific case of the propagator on a two-dimensional sphere $S^2$ viewed as the coset space $SU(2)/U(1)$ is worked out.

研究の動機と目的

• 制約を伴う第一級系において、還元を量子化の前に行うか、後に行うかという基礎的問題を解決すること。
• ディラックの『まず量子化してから還元する』手法に生じる新たな曖昧性の特定と分析すること。
• ディラック法が『まず還元する』手法と同等で自己整合的となる条件を確立すること。
• コンパクトなリー群の商空間、特に $S^2 = SU(2)/U(1)$ にこの形式的枠組みを適用し、その有効性を示すこと。

提案手法

• ハミルトニアンが運動量に関して線形および二次である制約付きハミルトニアン系のラグランジュ的定式化を構築する。
• 全位相空間における propagator を導出し、それをディラック法によって得られた propagator と比較する。
• 制約とゲージ固定条件の順序に起因する、ディラック法に新たなクラスの曖昧性を特定する。
• ラグランジュ的枠組みを用いて、全空間 propagator とディラック制限付き propagator の間の明確な数学的関係（式 5.25）を導出する。
• コンパクトなリー群の商空間 $G/H$ に形式的枠組みを適用し、自然なディラック量力学的定式化を採用する。
• $S^2 = SU(2)/U(1)$ 上での propagator を明示的に計算し、自己整合性と等価性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制約を量子化する前に還元する際、どのような根本的な曖昧性が生じるか（ディラック法）。
• RQ2 ディラックの『まず量子化してから還元する』手法が、どのような条件下で『まず還元してから量子化する』手法と同等で自己整合的となるか。
• RQ3 ラグランジュ的定式化は、全空間における propagator と還元位相空間における propagator の関係をどのように明確にするか。
• RQ4 コンパクトなリー群の商空間上では、ディラック法を用いて一貫的かつ同等の量子化を達成できるか。
• RQ5 ディラック法を用いて $S^2 = SU(2)/U(1)$ 上の propagator を明示的に求めた場合、その結果は全空間の結果と一致するか。

主な発見

• ディラック法に、ゲージ固定と制約の量子化の順序に起因する新たな曖昧性が存在し、これが自己整合性に影響を及ぼすことが判明した。
• 全位相空間における propagator とディラック制限付き propagator の間の明確な数学的関係（式 5.25）が導出され、直接的な比較が可能になった。
• コンパクトなリー群の商空間では、自然なディラック量力学的定式化の選択により、『まず還元する』手法と完全に自己整合的かつ同等となる。
• ディラック法を用いて $S^2 = SU(2)/U(1)$ 上の propagator を計算した結果、期待される物理的結果と一致し、整合性が確認された。
• ラグランジュ的アプローチは、制約付き量子化における順序の曖昧性を体系的に分析・解消するフレームワークを提供する。
• 本形式的枠組みは、対称空間における還元と量子化の順序の等価性に関する長年の疑問を効果的に解決した。