[論文レビュー] First vertices for generic Newton polygons, and $p$-cyclic coverings of the projective line

Régis Blache|ArXiv.org|Dec 10, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、特徴が $p$ の $p$-循環被覆の一般ニュートン多角形の最初の頂点を、特徴の和と $L$-関数を用いて計算し、明示的なハッセ多項式を導出する。特定の無限個の genus の族において、超特異ヤコビアンの非存在を証明し、特に $g = \frac{(p-1)(d_0-1)}{2}$ で $d_0 \in \{p^n-1, 2p^n-2\}$ かつ $n(p-1) > 2$ の場合に、トーリー多様体とニュートン層の交差に関する未解決問題を解決する。

ABSTRACT

In this paper we compute the first vertex of a generic Newton polygon in some special cases, and the corresponding Hasse polynomial. This allows us to show the nonexistence of $p$-cyclic coverings of the projective line in characteristic $p$ with supersingular jacobian for some (infinite families of) genera.

研究の動機と目的

• 特徴が $p$ の射影直線の $p$-循環被覆の一般ニュートン多角形の最初の頂点を特定すること。
• ニュートン多角形が最初の頂点に達する条件を特徴付ける明示的なハッセ多項式を導出すること。
• 特定の無限個の genus の族における超特異ヤコビアンの非存在を確立すること。
• $p \geq 3d$ の範囲を超えて、アーティン＝シュライエル曲線のニュートン多角形および $L$-関数に関する既知の結果を拡張すること。

提案手法

• 有限体の加法的特徴と関連する $L$-関数を用いて、アーティン＝シュライエル曲線のゼータ関数を研究する。
• グロテンディークの特殊化定理を適用し、パrameter空間のザリスキ・余密な開部分集合上で一般ニュートン多角形（GNP）を定義する。
• $p$-進付値と $p$-重みを含む合同式の最小解を用いて、GNP の最初の頂点を計算する。
• ニュートン多角形の最初の頂点を決定する多項式として、ハッセ多項式 $\mathcal{H}_{D,p}^1$ を導入する。
• $p$-進解析と $p$-可除群の理論を用いて、$L$-関数のニュートン多角形と曲線のヤコビアンを関連付ける。
• $p$-密度および $p$-重み条件を適用し、最小解を分類し、最初の頂点の存在に関する条件 (H) を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴が $p$ の射影直線の $p$-循環被覆が、$g = \frac{(p-1)(d_0-1)}{2}$ で $d_0 \in \{p^n-1, 2p^n-2\}$ かつ $n(p-1) > 2$ の場合に、超特異ヤコビアンをもつのはどのような場合か？
• RQ2 $d_0 = p^n - 1$ または $d_0 = 2p^n - 2$ のとき、$p$-循環被覆の一般ニュートン多角形の最初の頂点は何か？
• RQ3 ハッセ多項式 $\mathcal{H}_{D,p}^1$ をどのように明示的に計算すれば、ニュートン多角形の最初の頂点を検出できるか？
• RQ4 一般アーティン＝シュライエル曲線に関連する $L$-関数のニュートン多角形が、ある係数が消えるか非ゼロであるときに、正確に最初の頂点に達するか？
• RQ5 $p$-循環被覆の最初のスロープが $\frac{1}{n}$ を超えるのはどのような条件下か？

主な発見

• $d_0 = p^n - 1$ の場合、一般ニュートン多角形 $\mathrm{GNP}(D,p)$ の最初の頂点は $(n,1)$ であり、ハッセ多項式は $\mathcal{H}_{D,p}^1 = a_{p^n - 1}$ である。
• $d_0 = 2p^n - 2$ の場合、最初の頂点は $(2n,2)$ であり、ハッセ多項式は $\mathcal{H}_{D,p}^1 = a_{p^n - 1} a_{2p^n - 3}^{p^n}$ である。
• 特徴 $p$ において、$n(p-1) > 2$ かつ $(n,p) \neq (1,3)$ のとき、$g = \frac{(p-1)(2p^n - 3)}{2}$ の genus をもつ $p$-循環被覆は、超特異ヤコビアンをもたない。
• 特徴 $p=2$ において、$d = 2^{n+1} - 3$ のとき、$\alpha_{3 \cdot 2^{n-1} - 1} \neq 0$ ならば最初の頂点は $(2n,2)$ であり、そうでなければ $\alpha_{2^n - 1} \neq 0$ ならば $(n,1)$ である。
• $d_0 < p$ の場合、最初の頂点は $(\lceil \frac{p-1}{d_0} \rceil, \frac{1}{p-1} \lceil \frac{p-1}{d_0} \rceil)$ であり、ハッセ多項式は $f^{\lceil (p-1)/d_0 \rceil}$ の次数 $p-1$ の係数である。
• $p=3$ かつ $D = \{1 \leq i \leq 3^{n+1}-2, (3,i)=1\}$ の場合、最初の頂点は $(2n+1,1)$ であり、ハッセ多項式は $\mathcal{H}_{D,3}^1 = a_{d_n} a_{d_0}^{3^n}$ である。