[論文レビュー] Fisher Information Matrix of General Stable Distributions Close to the Normal Distribution

Muneya Matsui|ArXiv.org|Feb 26, 2005

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般安定分布のフィッシャー情報行列の漸近的挙動を、特徴的指数αが2に近づく（正規分布の極限）際のものとして導出する。α = 2に近い近傍におけるスコア関数および密度関数の微分を分析することで、非対称な場合にまで拡張された先行研究の結果を拡張し、IσαとIμαの非対角成分がそれぞれΔ = 2−αとして−(1+β)/4 log log(1/Δ)およびO(Δ)の形で対数的に発散することを示している。一方、Iααは無限大に発散する。

ABSTRACT

We investigate behavior of the Fisher information matrix of general stable distributions. DuMouchel (1975, 1983) proved that the Fisher information of characteristic exponent αdiverges to infinity as αapproaches 2. Nagaev and Shkol'nik (1988) made more detailed analysis and derived asymptotic behavior of the Fisher information matrix of αdiverging to infinity as αapproaches 2 in the symmetric case. Extending their work in this paper we have obtained behavior of the Fisher information matrix of general stable distributions as αapproaches 2 by detailed study of behavior of the corresponding density and its score functions. We clarify the limiting values of the 4*4 Fisher Information matrix with respect to the location μ, the scale σ, the characteristic exponent αand the skewness parameter β.

研究の動機と目的

• α→2の際、対称安定分布に限らない一般（非対称）安定分布へのフィッシャー情報行列の漸近的解析を拡張すること。
• NagaevとShkol'nik（1988）が指摘した非対称安定分布の未解決事項を解消すること。
• α↑2の極限において、フィッシャー情報行列の4つの成分Iμμ、Iσσ、Iαα、Iββの挙動を同定すること。
• 特にΔ = 2−αを用いて、発散する成分IσαおよびIμαの明確な漸近的表現を与えること。
• 正規分布近傍における安定分布モデルの最尤推定の数学的基盤を確立すること。

提案手法

• Zolotarevの(M)パrameterizationおよび式(1.4)の積分表現を用いて、一般安定分布の密度関数およびスコア関数を導出する。
• Δ = 2−α → 0の下で、f′(x;α,β)、fμ(x;α,β)、fσ(x;α,β)の詳細な漸近的解析を行い、x = ζ近傍およびx→∞における挙動に注目する。
• fα(x;α,β)およびfβ(x;α,β)の解析に、逆数公式を適用し、特に位置シフトζ近傍での挙動に注目する。
• 特異性を制御し、支配収束定理を適用するために、フィッシャー情報積分を複数の領域（例：[0,T)、[T,x(Δ)]、[x1(Δ),x2(Δ)]、[x2(Δ),∞)）に分割する。
• 正負の軸上での積分を関連付けるために、f(x;α,β) = f(−x;α,−β)の対称性およびβ→−βにおける挙動を利用する。
• 支配収束定理を適用して、fμおよびfαを含む積分の極限を扱い、Iμαが有限値に収束することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般（非対称）安定分布において、α→2の際のフィッシャー情報行列の挙動、特に非対角成分はいかなるものか？
• RQ2 Iσαのα↑2における正確な漸近的形は何か？対称の場合と同様に対数的に発散するか？
• RQ3 αが2に近いとき、x = ζ近傍およびx→∞におけるスコア関数fμ、fσ、fα、fβの挙動はどのように変化するか？
• RQ4 α=2近傍におけるIααの発散挙動を、対称の場合から一般安定分布へ拡張できるか？
• RQ5 歪度パrameterβは、情報行列成分の漸近的発散にどのような役割を果たすか？

主な発見

• Iσαはα↑2に伴い対数的に発散し、Iσα = −(1+β)/4 log log(1/Δ)(1+o(1))（Δ = 2−α）の形をとる。
• Iμαはα↑2において有限のままであり、xIμαの極限は正規密度およびその微分を含む有限積分に収束する。
• Iααはα↑2に伴い無限大に発散する。DuMouchel（1975）およびNagaevとShkol'nik（1988）の結果を非対称ケースにまで拡張したものである。
• IμβはO(Δ)であり、α↑2に伴い消えるため、位置パラメータと歪度パラメータ間の交差影響は無視できる。
• 対称性およびΔ×Iσαの挙動から、IσβはO(Δ)であると予想されるが、証明は省略されている。
• IμμおよびIσσの成分はα↑2において有限のままであり、極限ではIμμ → 1/2およびIσσ → 1/2となる。これは正規分布N(0,2)と整合的である。