[論文レビュー] Fitted front tracking methods for two-phase incompressible Navier--Stokes flow: Eulerian and ALE finite element discretizations

Marco Agnese, Robert Nürnberg|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、界面を界面に適合したメッシュ上のパラメトリックな一次元有限要素で追跡する手法を用いて、Eulerian形式および任意Lagrangian-Eulerian (ALE)形式の両方を用いた二相不圧縮性Navier--Stokes流れのフィットド有限要素法を提案する。主な貢献は、安定した界面メッシュ品質と効率的なメッシュスムージングのおかげで、各タイムステップ後に速度の補間を要するにもかかわらず、EulerianスキームがAOLEスキームと同等の精度と頑健性を示すことにある。

ABSTRACT

We investigate novel fitted finite element approximations for two-phase Navier--Stokes flow. In particular, we consider both Eulerian and Arbitrary Lagrangian--Eulerian (ALE) finite element formulations. The moving interface is approximated with the help of parametric piecewise linear finite element functions. The bulk mesh is fitted to the interface approximation, so that standard bulk finite element spaces can be used throughout. The meshes describing the discrete interface in general do not deteriorate in time, which means that in numerical simulations a smoothing or a remeshing of the interface mesh is not necessary. We present several numerical experiments, including convergence experiments and benchmark computations, for the introduced numerical methods, which demonstrate the accuracy and robustness of the proposed algorithms. We also compare the accuracy and efficiency of the Eulerian and ALE formulations.

研究の動機と目的

• 移動界面を伴う二相不圧縮性Navier--Stokes流れのフィットド有限要素法の開発および比較を行う。
• ALE形式が標準的なEulerian形式に比べて、精度および効率性において顕著な利点を有するかどうかを調査する。
• シミュレーション中に再メッシュ化やヒューリスティックな調整なしに、高品質な界面およびバルクメッシュを維持する。
• 強い界面変形を伴うベンチマーク問題において、EulerianおよびALEスキームの性能を評価する。
• 界面メッシュ品質と効率的なメッシュスムージングのおかげで、補間コストがあるにもかかわらずEulerianスキームがALEスキームと同等の性能を達成できることを示す。

提案手法

• 移動界面をパラメトリックな一次元有限要素で表現し、幾何的精度を確保する。
• 離散的界面に適合するようにメッシュを構築し、標準的な有限要素空間を全域で使用可能にするバルクメッシュを構築する。
• 界面移動後のバルク要素の品質を維持するために、線形弾性に基づくメッシュスムージング手順を適用する。
• Eulerianスキームでは、各タイムステップ後に旧バルクメッシュから新しいバルクメッシュへ速度場を補間する。
• ALEスキームでは、任意Lagrangian速度を用いた移動領域フレームワークでNavier--Stokes方程式を解き、メッシュ品質を向上させる。
• 速度と圧力の両方に一貫した有限要素式を用い、表面張力は連続表面力法により組み込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Eulerian形式のフィットド有限要素法は、二相Navier-Stokes流れのシミュレーションにおいて、ALE法と同等の精度と頑健性を達成できるか？
• RQ2 再メッシュ化や界面スムージングなしに、Eulerianアプローチは補間コストがあるにもかかわらず、数値的安定性と精度を維持できるか？
• RQ3 ベンチマーク問題において、EulerianおよびALE形式の計算コストと収束特性はどのように比較されるか？
• RQ4 長時間シミュレーションにおいて、界面メッシュ品質はEulerianおよびALEスキームの性能にどの程度影響を及えるか？
• RQ5 提案手法は、ヒューリスティックな介入なしに、気泡のピンチオフのようなトポロジー変化を正確に解像できるか？

主な発見

• Eulerianスキーム $({\rm \tilde{A}}^{h}_{\rm ex})$ と $({\rm \tilde{A}}^{h}_{\rm im})$ は、すべての収束テストおよびベンチマークテストにおいて、ALEスキーム $({ m C}^{h}_{ m ALE})$ と同等の精度と頑健性を達成した。
• 各タイムステップ後に速度補間を要するにもかかわらず、Eulerianスキームは精度に顕著な劣化を示さず、非凸領域ではわずかな計算オーバーヘッドしか観察されなかった。
• 上昇気泡による強い変形のため、時間経過に伴う完全な再メッシュ回数は多く（787–808回）なったが、界面メッシュ品質は全期間にわたり安定していた。
• ドロップレットが気泡の尾部から剥離しないことがシミュレーションで確認され、先行研究の最も正確な結果と整合的であり、トポロジー挙動の信頼性を示した。
• 球面度、上昇速度、重心、相対的内側面積の時間発展が、既存のベンチマークと良好に一致し、手法の物理的妥当性を検証した。
• 時間 $t=2.1$ から $t=2.3$ の間に相対的内側面積に観察された振動は、気泡の基部にできる細いフィラメントに起因するとされ、本手法の幾何的特徴への感受性を示している。