[論文レビュー] Fitting and goodness-of-fit test of non-truncated and truncated power-law distributions

Álvaro Corral, Anna Deluca|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2012

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、最尤推定、コルモゴロフ＝スミルノフ適合度検定、モンテカルロシミュレーションを用いて、実測データへの非切断および切断型パワーロー分布の適合に向け、頑健で体系的な手法を提案する。本手法は、地震モーメント、ラジオニクライドの半減期、森林火災の面積など、多様な地球物理的データセットにおけるパワーロー則の信頼性の高い同定と確認を通じ、先行手法を改善する。

ABSTRACT

Power-law distributions contain precious information about a large variety of processes in geoscience and elsewhere. Although there are sound theoretical grounds for these distributions, the empirical evidence in favor of power laws has been traditionally weak. Recently, Clauset et al. have proposed a systematic method to find over which range (if any) a certain distribution behaves as a power law. However, their method has been found to fail, in the sense that true (simulated) power-law tails are not recognized as such in some instances, and then the power-law hypothesis is rejected. Moreover, the method does not work well when extended to power-law distributions with an upper truncation. We explain in detail a similar but alternative procedure, valid for truncated as well as for non-truncated power-law distributions, based in maximum likelihood estimation, the Kolmogorov-Smirnov goodness-of-fit test, and Monte Carlo simulations. An overview of the main concepts as well as a recipe for their practical implementation is provided. The performance of our method is put to test on several empirical data which were previously analyzed with less systematic approaches. The databases presented here include the half-lives of the radionuclides, the seismic moment of earthquakes in the whole world and in Southern California, a proxy for the energy dissipated by tropical cyclones elsewhere, the area burned by forest fires in Italy, and the waiting times calculated over different spatial subdivisions of Southern California. We find the functioning of the method very satisfactory.

研究の動機と目的

• 有限な標本サイズや上側切断を伴う場合に、真のパワーロー則の行動を検出するための先行手法の限界を克服すること。
• 主観的バイアスなしに、パワーロー則の有効範囲を自動的に特定する信頼性の高い手順を開発すること。
• 実世界のデータセットへの非切断型および切断型パワーロー分布の両方の適合を一貫したフレームワークで提供すること。
• パワーロー則の行動が以前に報告されたり、推測されたりした既存のデータセットに対して、本手法の性能を評価すること。
• 地球科学および複雑系分野の研究者が、統計的厳密性を保ったままパワーロー則の適合を評価できる実用的で実装可能なアルゴリズムを提供すること。

提案手法

• 最尤推定（MLE）を用いて、実測データへのパワーロー則パラメータ（αおよびxmin）を適合させ、最適なパrameter推定を保証する。
• 実測データと適合したパワーロー則分布との間の適合度を評価するために、コルモゴロフ＝スミルノフ（KS）統計量を適用する。
• 適合モデル下での合成データセットを生成するためにモンテカルロシミュレーションを用い、KS検定の正確なp値推定を可能にする。
• パワーロー則の行動が成立する複数の候補範囲を体系的に評価し、パワーロー則の領域が開始する最適なxmin（下限）を同定する。
• 上界bを組み込むことで、切断型パワーロー分布へと手法を拡張し、有限のモーメントと物理的カットオフの現実的モデル化を可能にする。
• 連続的および離散的パワーロー分布の正規化定数に対して解析的表現を用い、適切な確率密度推定を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた実測データがパワーロー則分布に従うようになる正しい下限（xmin）は何か？
• RQ2 有限なデータセットにおいて、真のパワーロー則行動と他の重尾分布を信頼性高く区別する方法は何か？
• RQ3 上側切断（b）の組み込みが、実際の地球物理的データにおけるパワーロー則モデルの適合度と統計的妥当性を顕著に向上させるか？
• RQ4 地震モーメントや熱帯低気圧エネルギーといった、以前により体系的でない手法で分析されたデータセットに対して、本手法はどのように性能を発揮するか？
• RQ5 1つのデータセット内に複数のパワーロー則領域が存在する場合、例えば分布の本体部と尾部に異なる挙動が見られる場合、本手法はそれを検出できるか？

主な発見

• 本手法は、ラジオニクライドの半減期に広いパワーロー則尾部が存在することを明確に特定し、パワーロー則指数α = 1.09を確認した。これは以前の報告を裏付けた。
• グローバルおよび南カリフォルニアの地震モーメントデータに対して、本手法はグーテンベルク＝リヒター則（α ≈ 1.0～1.1）を確認し、この法則が成り立つ最小地震モーメントを信頼性高く同定した。
• 熱帯低気圧が放出するエネルギー（PDI）は、指数が1に近いパワーロー則の本体部を示し、南インド洋地域ではより高い指数が得られた。
• イタリアの森林火災の面積は、分布の小さな限定された領域でのみパワーロー則の行動を示しており、脆弱または局所的なパワーロー則領域であると示唆された。
• 南カリフォルニアの地震間隔は、繊細なパワーロー則尾部を示しており、有限の記録期間や空間的分割サイズの影響を強く受けていた。
• 本手法は、地震間隔分布の本体部に2番目のパワーロー則領域を検出でき、下限および上限のクロスオーバー閾値によって境界づけられ、複雑な時間的ダイナミクスを示した。