[論文レビュー] Five Constructions of Permutation Polynomials over $\gf(q^2)$

Cunsheng Ding, Pingzhi Yuan|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$\ mathrm{GF}(q^2)$ 上の置換多項式の5つの一般化された構成法を提示している。これらは、$\ mathrm{GF}(q)$ 上の既知の置換多項式を用いて構成されており、4つの再帰的メソッドにより任意の $\ ell \geq 1$ に対して $\ mathrm{GF}(q^{2^\ell})$ 上に無限族を生成する。また、特異な方法として、$\ mathrm{GF}(2^{2m})$ 上の非再帰的構成法を、o-多項式を用いて行っている。主な貢献は、特筆すべき特徴として、特徴2におけるo-多項式と置換多項式との間の新しい関係を介して、無限に多くの新しい置換多項式を体系的に生成できることにある。

ABSTRACT

Four recursive constructions of permutation polynomials over $\gf(q^2)$ with those over $\gf(q)$ are developed and applied to a few famous classes of permutation polynomials. They produce infinitely many new permutation polynomials over $\gf(q^{2^\ell})$ for any positive integer $\ell$ with any given permutation polynomial over $\gf(q)$. A generic construction of permutation polynomials over $\gf(2^{2m})$ with o-polynomials over $\gf(2^m)$ is also presented, and a number of new classes of permutation polynomials over $\gf(2^{2m})$ are obtained.

研究の動機と目的

• 既知の $\ mathrm{GF}(q)$ 上の置換多項式に基づき、$\ mathrm{GF}(q^2)$ 上の再帰的および非再帰的置換多項式の構成法を開発すること。
• $\ mathrm{GF}(2^m)$ 上のo-多項式と、$\ mathrm{GF}(2^{2m})$ 上の置換多項式との間の一般化された関係を確立すること。
• 単一の $\ mathrm{GF}(q)$ 上の置換多項式から出発し、任意の $\ ell \geq 1$ に対して $\ mathrm{GF}(q^{2^\ell})$ 上に無限に多くの新しい置換多項式を生成すること。
• 既知のo-多項式の族を拡張し、新しいクラスの置換多項式が構成される条件を提供すること。
• 基底表現と体自己同型を用いて、置換多項式の構成に関する未解決問題を解消し、十分かつ必要条件を証明すること。

提案手法

• 定理1を用いる。この定理は、$\mathrm{GF}(q^m)$ 上の多項式 $F(z)$ が置換多項式であるための必要十分条件を示しており、基底に関する非特異行列変換を介して表現された成分関数 $f_i(x)$ がすべて $\mathrm{GF}(q)$ 上で置換多項式であることである。
• $\mathrm{GF}(q^2)$ の要素を、$x, y \in \mathrm{GF}(q)$ を用いて $z = x + y\beta$ の線形結合として表現し、$\mathrm{GF}(q)$ 上の基底 $\{1, \beta\}$ を使用する。
• 再帰的構成法を用い、$\mathrm{GF}(q)$ から $\mathrm{GF}(q^2)$ へ、さらに $\mathrm{GF}(q^{2^\ell})$ へと順次置換多項式を拡張する。行列変換と成分ごとの置換性を用いる。
• 特徴2の $\mathrm{GF}(2^{2m})$ 上の非再帰的構成法を導入する。$x, x^q, x^{q^2}$ の線形結合と、$u\alpha^2$ を $t$ 乗した項を組み合わせ、$q \equiv 1 \pmod{3}$ のとき $\mathrm{GF}(q)$ 内に立方根の単位根 $\omega$ が存在することを活用する。
• トレースに類似した式 $x + x^q + x^{q^2}$ と、Frobenius自己同型によるその変換を用いて、構成された多項式の置換性を分析する。
• 多項式 $F(x)$ が $\mathrm{GF}(q^3)$ 上で置換多項式であるための条件として、成分のスカラー係数がすべて非ゼロであり、$\mathrm{GF}(q)$ 上の縮約された一変数多項式が置換多項式であることを利用する。このとき $\alpha^q = \omega\alpha$ および $\alpha^{q^2} = \omega^2\alpha$ の構造を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既知の $\mathrm{GF}(q)$ 上の置換多項式を用いて、再帰的メソッドにより $\mathrm{GF}(q^2)$ 上の置換多項式を体系的に構成できるか？
• RQ2 $F(x) = ax + bx^q + cx^{q^2} + (x + \omega x^q + \omega^2 x^{q^2} + u\alpha^2)^t$ が $\mathrm{GF}(q^3)$ 上で置換多項式であるための条件は何か？
• RQ3 $\mathrm{GF}(2^m)$ 上のo-多項式を用いて、$\mathrm{GF}(2^{2m})$ 上の新しい置換多項式を生成する方法は何か？
• RQ4 係数 $a, b, c, u$ および指数 $t$ が満たすべき条件は何か？ その条件下で、$t \equiv 1 \pmod{3}$ のとき、多項式 $F_1(x)$ が $\mathrm{GF}(q^3)$ 上で置換多項式であるための条件は？
• RQ5 提案された構成法により、任意の $\ell \geq 1$ に対して $\mathrm{GF}(q^{2^\ell})$ 上に無限に多くの新しい置換多項式を生成できるか？
• RQ6 key_findings

主な発見

• 4つの再帰的構成法により、任意の $\ell \geq 1$ に対して、$\mathrm{GF}(q)$ 上の単一の置換多項式から出発し、$\mathrm{GF}(q^{2^\ell})$ 上に無限に多くの置換多項式を生成できる。
• 特徴2の $\mathrm{GF}(2^{2m})$ 上の非再帰的構成法により、o-多項式を用いて新しいクラスの置換多項式が得られ、特徴2における既知の族が拡張された。
• $\mathrm{GF}(q^3)$ 上の多項式 $F(x) = ax + bx^q + cx^{q^2} + (x + x^q + x^{q^2} + u)^t$ が置換多項式であるための必要十分条件は、$(a+b+c)(a+b\omega+c\omega^2)(a+b\omega^2+c\omega) \neq 0$ であり、かつ $(a+b+c)x + 3x^t$ が $\mathrm{GF}(q)$ 上で置換多項式であること。
• $t \not\equiv 1 \pmod{3}$ のとき、多項式 $F_1(x) = ax + bx^q + cx^{q^2} + (x + \omega x^q + \omega^2 x^{q^2} + u\alpha^2)^t$ が $\mathrm{GF}(q^3)$ 上で置換多項式であるための必要十分条件は、$(a+b+c)(a+b\omega+c\omega^2)(a+b\omega^2+c\omega) \neq 0$ であること。
• $t \equiv 1 \pmod{3}$ のとき、$F_1(x)$ が $\mathrm{GF}(q^3)$ 上で置換多項式であるための必要十分条件は、$(a+b+c)(a+b\omega^2+c\omega) \neq 0$ であり、かつ $(a+b\omega^2+c\omega)x + \alpha^{2(t-1)}3x^t$ が $\mathrm{GF}(q)$ 上で置換多項式であること。
• これらの構成法は任意の素数べき $q$ に対して有効であり、特に $q \equiv 1 \pmod{3}$ のとき、立方根の単位根 $\omega$ を分析に活用できるため、特に有効である。