[論文レビュー] Five dimensional K-contact manifolds of rank 2

Hiraku Nozawa|ArXiv.org|Jul 1, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、同調的データの組合せ的グラフを用いて、ランク2の閉じた5次元K接触多様体を分類し、それらが接触 blowing up/down操作を経て、曲面上のレンズ空間 bundle から得られることを示している。このような多様体が適合するSasakian計量を有することを確立し、チェーン構造に基づくトーリック構造の十分条件を提示している。

ABSTRACT

A K-contact manifold is a smooth manifold M with a contact form whose Reeb flow preserves a Riemannian metric on M. Main examples are Sasakian manifolds. Our results in this paper are four results i), ii), iii) and iv) below obtained by the application of the Morse theory to the contact moment maps on closed 5-dimensional K-contact manifolds of rank 2. 5-dimensional K-contact manifolds of rank 2 have the lowest dimension among K-contact manifolds with nontrivial contact moment maps which are not toric. i) Correspondence between the isomorphism classes of K-contact manifolds and graphs of isotropy data, ii) Classification of K-contact manifolds up to contact blowing up and down, iii) Every closed 5-dimensional K-contact manifold of rank 2 has a Sasakian metric, iv) A sufficient condition for closed 5-dimensional K-contact manifolds of rank 2 to be contact toric.

研究の動機と目的

• 組合せ的不変量を用いて、ランク2の閉じた5次元K接触多様体を分類すること。
• その多様体と、Reebフローによって誘導されるT²作用の同調的データを符号化するグラフとの間の対応を確立すること。
• すべてのこのような多様体が、接触 blowing up/down 操作を経て、閉じた曲面上のレンズ空間 bundle から得られることを示すこと。
• すべてのランク2の5次元K接触多様体が、適合するSasakian計量を有することを証明すること。
• 接触モーメント写像における非自明なチェーンの数と構造に基づき、5次元K接触多様体がトーリックであるための十分条件を提供すること。

提案手法

• 5次元K接触多様体上のReebフローの位相的・力学的性質を解析するため、接触モーメント写像およびその等高面を用いる。
• Reebフローによって誘導されるT²作用の同調的群を符号化する組合せ的不変量として「同調的データのグラフ」を導入する。
• 接触 blowing up/down 操作（接触カットの特別な場合）を手術的手段として用い、すべてのこのような多様体を標準的なレンズ空間 bundle と関連付ける。
• チューブ型近傍構成とシンプレクティック正規バンドルを用いて、K接触部分多様体（閉じた軌道やレンズ空間を含む）の局所正規形定理を適用する。
• 同調的ホモトピーとエグストラクションの安定性定理（同調的設定下）を用いて、同型のReebフローを持つ接触構造を比較する。
• 指数写像や2形式の同調的ホモトピーを用いた微分幾何的技法により、臨界部分多様体の近傍間の同調的微分同相写像を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じた5次元K接触多様体のランク2は、同型の意味でどのように分類可能か？
• RQ2 このような多様体の位相と、そのT²作用の組合せ的データの間にはどのような関係があるか？
• RQ3 すべてのこのような多様体が、接触 blowing up/down 操作を経てレンズ空間 bundle から得られるか？
• RQ4 5次元K接触多様体のランク2がトーリックであるための条件は何か？
• RQ5 すべての5次元K接触多様体のランク2は、適合するSasakian計量を有するか？

主な発見

• 2つの閉じた5次元K接触多様体のランク2が同型であるための必要十分条件は、それらの同調的データのグラフが同型であることである。
• 5次元K接触多様体のランク2の同型類は、T²作用の組合せ的データによって完全に決定され、それが同調的データのグラフに符号化されている。
• すべての閉じた5次元K接触多様体のランク2は、閉じた曲面上のレンズ空間 bundle から、有限回の接触 blowing up および down 操作を経て得られる。
• 接触モーメント写像の最大成分と最小成分がともに3次元であれば、多様体は接触 blowing up を通じてレンズ空間 bundle から得られる。
• 最大成分または最小成分の一方が1次元であれば、有限回の blowing up の後、1回または2回の contact blowing down を経て多様体が得られる。
• すべての閉じた5次元K接触多様体のランク2は、適合するSasakian計量を有する。これは、重要な幾何的性質を裏付けている。