[論文レビュー] Five subsets of permutations enumerated as weak sorting permutations

David Callan, Toufik Mansour|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、弱順序付け順列を数えるOEIS列A111279で表されるWilf同値である4文字の置換パターン三つ組の、5つの明確に区別できる対称性クラスを同定する。再帰関係、カーネル法、および明示的な双対写像を用いて、すべての5クラスに対して共通の母関数を導出し、それらが同じパターン回避順列の集合を数えていることを証明する。この結果により、この列を生成する非自明な4文字パターン三つ組は他に存在しないことが確認される。

ABSTRACT

We show that the number of members of S_n avoiding any one of five specific triples of 4-letter patterns is given by sequence A111279 in OEIS, which is known to count weak sorting permutations. By numerical evidence, there are no other (non-trivial) triples of 4-letter patterns giving rise to this sequence. We make use of a variety of methods in proving our result, including recurrences, the kernel method, direct counting, and bijections.

研究の動機と目的

• A111279で表される列が弱順序付け順列を数えることが知られていることから、この列を数える非自明な4文字パターン三つ組をすべて特定すること。
• このような三つ組の対称性クラスが、ちょうど5つであることを証明し、それぞれが同じ列を生成することを示すこと。
• 再帰関係とカーネル法を用いて、すべての5クラスに対して統一された母関数を導出すること。
• 特に三つ組Π₅ = {3214, 3241, 4213}に対して、明示的な組合せ的構成と双対写像を提供すること。

提案手法

• 各パターン三つ組を回避する順列の数に対する再帰関係を、初期部分列の個数と補助関数に基づいて導出する。
• 再帰から生じる関数方程式を解くためにカーネル法を適用し、閉形式の母関数を得る。
• 部分的な個数を符号化するための母関数A(x,v)とB(x,v)を用い、全母関数F(x)を導出する。
• 構造的制約を満たす213回避順列と321回避順列の組み合わせとの間の双対写像を確立する。
• 一般化されたカタラン数の恒等式を用いて、長さ、キーエントリ数、増加サフィックスの位置といったパラメータの和を評価する。
• 分解不能なΠ₅回避順列の2変数母関数を構築し、直接和分解を用いてすべてのこのような順列をモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 A111279で表される列を数える非自明な4文字パターン三つ組は、既知の弱順序付け順列の三つ組以外に存在するか？
• RQ2 弱順序付け順列を数えるのと同じ列を生成する4文字パターン三つ組の対称性クラスの完全な集合は何か？
• RQ3 すべてのこのようなパターン三つ組に対して、統一された母関数を導出できるか？ もしそうなら、その閉形式の表現は何か？
• RQ4 各々の5つに同定されたパターン三つ組を回避する順列をモデル化する明示的な組合せ的構造をどのように構築できるか？
• RQ5 Π₅回避順列の長さと成分数の両方を追跡する2変数母関数は何か？

主な発見

• A111279で表される列を数える4文字パターン三つ組の対称性クラスは、ちょうど5つであり、それらはリストされた三つ組Π₁からΠ₅に対応する。
• すべての5つのパターン集合は、同一の母関数F(x) = (1 - 5x + (1+x)√(1-4x)) / (1 - 5x + (1-x)√(1-4x)) を共有する。
• 三つ組Π₅ = {3214, 3241, 4213}に対して、カタラン数と二項係数の和を用いた|Sₙ(Π₅)|の明示的公式が導出される。
• 分解不能なΠ₅回避順列の母関数はF_indec(x) = 1 / (1 - x/√(1-4x)) であり、これはOEIS列A026671に対応する。
• Π₅回避順列の長さと成分数の両方を追跡する2変数母関数は、2xy√(1-4x) / (y - 2x - 3xy + (2 - xy - y)√(1-4x)) として導出される。
• コンピュータによる検証により、A111279列を生成する非自明な4文字パターン三つ組は他に存在しないことが確認され、分類の完全性が裏付けられる。