[論文レビュー] Fixed Parameter Polynomial Time Algorithms for Maximum Agreement and Compatible Supertrees

Viet Tung Hoang, Wing‐Kin Sung|ArXiv.org|Feb 20, 2008

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、入力木の数 $k$ とその最大次数 $D$ が定数である場合に、最大一致スーパツリー（MASP）および最大相違スーパツリー（MCSP）問題に対する初めての多項式時間アルゴリズムを提示する。これは、非根付き木の根付きバージョンから導かれる部分森を用いた動的計画法を活用することで達成され、全サブ問題数を $O((4n)^k)$ に削減し、非根付き MASP に対して $O((kD)^{kD+3}(4n)^k)$、MCSP に対して $O(2^{2kD}n^k)$ の時間計算量を達成する。

ABSTRACT

Consider a set of labels $L$ and a set of trees ${\mathcal T} = \{{\mathcal T}^{(1), {\mathcal T}^{(2), ..., {\mathcal T}^{(k) \$ where each tree ${\mathcal T}^{(i)$ is distinctly leaf-labeled by some subset of $L$. One fundamental problem is to find the biggest tree (denoted as supertree) to represent $\mathcal T}$ which minimizes the disagreements with the trees in ${\mathcal T}$ under certain criteria. This problem finds applications in phylogenetics, database, and data mining. In this paper, we focus on two particular supertree problems, namely, the maximum agreement supertree problem (MASP) and the maximum compatible supertree problem (MCSP). These two problems are known to be NP-hard for $k \geq 3$. This paper gives the first polynomial time algorithms for both MASP and MCSP when both $k$ and the maximum degree $D$ of the trees are constant.

研究の動機と目的

• Jansson らが提起した、$k$ と $D$ が定数である場合の MASP の tractability 問題を解決すること。
• MASP および MCSP の両方の根付き木と非根付き木に対する固定パラメータ tractable アルゴリズムを拡張すること。
• 定数 $k$ および $D$ の下で、従来の指数時間の境界を超えて多項式時間の複雑性を達成することで、$k$-木スーパツリー問題に対する既存の境界を改善すること。
• 固定パラメータ設定下での一致および相違スーパツリー問題を統一的に取り扱うフレームワークを提供すること。
• 非根付き木の根付きバージョンの構造的性質を活用して、サブ問題の数を削減すること。

提案手法

• 根付きバージョンの非根付き入力木から導かれる根付き部分木の集合として部分森を定義する。
• 部分森上で動的計画法を用いて最大一致および最大相違スーパツリーを計算し、各状態が複数の木における整合性または一致を追跡する。
• 各成分が自明であるか、または内部節点に根を置き、非自明な部分木を一つ削除することで得られる最大部分木である場合に限り、有効な部分森と定義する。
• 根の位置と辺の方向に関するケース解析を用いて、すべての根付きバージョンにおける最大部分木の数を数えることで、このような部分森の総数を $O((4n)^k)$ に束縛する。
• 各木が最大で $3n - 1$ 個の最大部分木を寄与することを活用し、全体としてのサブ問題数が $O((4n)^k)$ に抑えられることを導出する。
• メモ化と下向き計算を適用することで、各サブ問題が一度しか解かれないようにし、MASP に対してはサブ問題あたり $O((kD)^{kD+3})$、MCSP に対しては $O(2^{2kD})$ の時間で処理を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 入力木の $k$ と最大次数 $D$ が定数である場合、MASP は多項式時間で解けるか？
• RQ2 同様のパrameter 制約下で、MCSP は多項式時間で解けるか？
• RQ3 非根付き木の最大一致スーパツリーを計算する際に、考慮すべき最小の部分森の数はいくつか？
• RQ4 非根付き木の根付きバージョンをどのように用いることで、指数的爆発を避けてすべての可能なスーパツリー候補を効率的に探索できるか？
• RQ5 どのような木の構造的性質が、固定パラメータスーパツリーアルゴリズムにおけるサブ問題数の指数的削減を可能にするか？

主な発見

• 本稿は、$k$ と $D$ が定数である非根付き木に対する MASP に対して、時間計算量 $O((kD)^{kD+3}(4n)^k)$ の最初の多項式時間アルゴリズムを提供する。
• MCSP についても同様の制約下で $O(2^{2kD}n^k)$ 時間で実行可能であり、従来の指数時間境界を改善する。
• 考慮すべき部分森の総数は $O((4n)^k)$ に束縛され、これは入力木のすべての根付きバージョンにおける最大部分木の数を数えることで達成される。
• 根付き二分木の場合、MASP アルゴリズムは $O(6^k n^k)$ 時間で実行可能であり、以前の最良境界 $O(8^k n^k)$ よりも改善される。
• 各木における最大部分木の数は、根の位置と辺の方向に関するケース解析から、最大で $3n - 1$ 個であることが示される。
• 根付きバージョンと部分森分解を用いることで、根付き木と非根付き木の両方へ一般化可能なフレームワークが得られ、効率的な動的計画法を可能にする。