[論文レビュー] Fixed-parameter tractability of multicut parameterized by the size of the cutset

Dániel Marx, Igor Razgon|BIROn (Birkbeck, University of London)|Oct 18, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、カットセットのサイズ $ p $ でパラメータ化された場合のエッジマルチカットおよびバーテックスマルチカットの固定パラメータ可 tractability を確立し、時間 $ 2^{O(p^3)} \cdot n^{O(1)} $ で実行されるアルゴリズムを提示する。主な貢献は、$ p $ にのみ指数的依存する最初の FPT アルゴリズムを提供することで、長年の未解決問題を解決したことである。

ABSTRACT

Given an undirected graph $G$, a collection $\{(s_1,t_1),..., (s_k,t_k)\}$ of pairs of vertices, and an integer $p$, the Edge Multicut problem ask if there is a set $S$ of at most $p$ edges such that the removal of $S$ disconnects every $s_i$ from the corresponding $t_i$. Vertex Multicut is the analogous problem where $S$ is a set of at most $p$ vertices. Our main result is that both problems can be solved in time $2^{O(p^3)}... n^{O(1)}$, i.e., fixed-parameter tractable parameterized by the size $p$ of the cutset in the solution. By contrast, it is unlikely that an algorithm with running time of the form $f(p)... n^{O(1)}$ exists for the directed version of the problem, as we show it to be W[1]-hard parameterized by the size of the cutset.

研究の動機と目的

• エッジマルチカットおよびバーテックスマルチカットが、解のカットセットサイズ $ p $ でパラメータ化された場合に固定パラメータ可 tractable であるかどうかという、長年の未解決問題を解明すること。
• カットセットサイズが小さい場合に効率的な正確なアルゴリズムを開発し、$ p $ および $ k $ の両方に指数的依存する従来のアルゴリズムを改善すること。
• パラメータ $ p = O(\sqrt[3]{\log n}) $ の場合にマルチカットが多項式時間で解けることを示し、スパarsなインスタンスにおける実用的可 tractability を示すこと。
• 有向マルチカットが $ p $ でパラメータ化された場合に W[1]-hard であることを示し、可 tractable および不可 tractable な場合の鋭い境界を確立すること。
• エッジマルチカットへの還元を介して、ファジークラスタ編集問題が編集コストでパラメータ化された場合に FPT であることを証明すること。

提案手法

• 反復圧縮を用いて、元のマルチカット問題を、解のサイズが $ p+1 $ であると与えられた圧縮版に還元する。この圧縮版では、サイズ $ p $ の解を見つけることが目的である。
• 各端子ペア $ (s_i, t_i) $ に対して、到達可能性制約を重み付き辺と補助頂点を用いてエンコードするための道具具を含む有向グラフを構築する。
• 順序付きペア $ (x,y) $ を表すために、頂点道具具 $ G_{i,j} $ および $ G_{j,i} $ を導入し、特定の到達可能性条件が満たされた場合にマルチカットの辺が強制的に含まれるようにする。
• ペアの表現に基づいて、特定の辺が含まれることを強制するため、端子ペア $ (w_{i,j}^{\iota(x,y)+1}, b_{i,j}^{(x,y)}) $ および $ (w_{i,j}^{\iota(x+1,0)}, d_i^x) $ を導入する。
• 重み 1 の辺 $ \overrightarrow{c_i^x d_i^x} $ を導入し、$ w_{i,j}^{\iota(x,0)} $ を介して接続することで、$ x = v_i $ の場合にのみ、辺 $ \overrightarrow{c_i^{v_i} d_i^{v_i}} $ が必要になるように保証する。
• 元のグラフにおけるサイズ $ t $ のクリークと、サイズ $ p $ のマルチカットの存在との間の同値性を証明し、クリークの存在をマルチカットの可能性に還元することで、構成の正しさを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エッジマルチカットは、端子ペア数 $ k $ に依存せず、カットセットサイズ $ p $ のみでパラメータ化された場合に固定パラメータ可 tractable であるか？
• RQ2 バーテックスマルチカットは、ある計算可能関数 $ f $ を用いて、$ f(p) \cdot n^{O(1)} $ 時間で解けるか？ さらに、指数的依存が $ p $ のみに限定されるか？
• RQ3 有向マルチカットのパラメータ化複雑性は、$ p $ でパラメータ化された場合にどうなるか？
• RQ4 還元フレームワーク下で、グラフ内にクリークが存在することは、サイズ $ p $ のマルチカットの存在を意味するか？ 逆に、マルチカットが存在することは、クリークの存在を意味するか？
• RQ5 エッジマルチカットへの還元を介して、ファジークラスタ編集問題が編集コストでパラメータ化された場合に FPT であることを示せるか？

主な発見

• この論文は、エッジマルチカットおよびバーテックスマルチカットを時間 $ 2^{O(p^3)} \cdot n^{O(1)} $ で解くアルゴリズムを提示し、$ p $ に関して固定パラメータ可 tractable であることを証明している。
• アルゴリズムは、$ k $（端子ペア数）に依存しない指数的依存のみを示しており、従来の $ f(p,k) \cdot n^{O(1)} $ 依存のアルゴリズムよりも優れている。
• 有向マルチカットが $ p $ でパラメータ化された場合に W[1]-hard であることが示され、この結果が有向ケースに拡張され unlikely であることが示唆されている。
• クリークからマルチカットへの還元により、サイズ $ p $ のマルチカットが存在するための必要十分条件が、元のグラフ内にサイズ $ t $ のクリークが存在することであると証明され、構成の正しさが裏付けられた。
• この結果により、ファジークラスタ編集問題が編集コストでパラメータ化された場合に FPT であることが示され、その分野における未解決問題が解決された。
• パラメータ $ p = O(\sqrt[3]{\log n}) $ の場合、アルゴリズムは多項式時間で実行されるため、大きなグラフにおける非常に小さなカットセットに対してマルチカットが実用的に可 tractable であることが示された。