[論文レビュー] Fixed point properties for semigroups of nonlinear mappings on unbounded sets

Anthony To‐Ming Lau, Yong Zhang|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 32被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、ヒルバート空間の有界でない閉凸部分集合上における、非拡大および一般化ハイブリッド写像の半トポロジカル半群に関する共通不動点定理を確立する。共通吸引点の概念を導入し、$ C_b(S) $、$ LUC(S) $、$ AP(S) $、$ WAP(S) $ などの関数空間上の左不変平均を活用することで、点 $ c \in C $ が有界軌道を持つ場合、可解性または可逆性の条件下で半群が共通不動点を持つことを証明する。

ABSTRACT

A well-known result of W. Ray asserts that if $C$ is an unbounded convex subset of a Hilbert space, then there is a nonexpansive mapping $T$: $C o C$ that has no fixed point. In this paper we establish some common fixed point properties for a semitopological semigroup $S$ of nonexpansive mappings acting on a closed convex subset $C$ of a Hilbert space, assuming that there is a point $c\in C$ with a bounded orbit and assuming that certain subspace of $C_b(S)$ has a left invariant mean. Left invariant mean (or amenability) is an important notion in harmonic analysis of semigroups and groups introduced by von Neumann in 1929 \cite{Neu} and formalized by Day in 1957 \cite{Day}. In our investigation we use the notion of common attractive points introduced recently by S. Atsushiba and W. Takahashi.

研究の動機と目的

• ヒルバート空間における有界でない凸集合上での非拡大半群の不動点結果を、軌道が有界であるという古典的ケースを超えて拡張すること。
• 関数空間 $ C_b(S) $、$ LUC(S) $、$ AP(S) $、$ WAP(S) $ における左不変平均の役割が共通不動点を保証する仕組みを調査すること。
• Atsushiba と Takahashi が得た共通吸引点に関する先行結果を、より広いクラスの半トポロジカル半群へ一般化すること。
• 半群およびその作用に関する条件（例えば、可解性、可逆性、連続性）が、集合が有界でない場合でも共通不動点の存在を保証する条件を特定すること。
• 厳密凸空間およびヒルバート空間における共通吸引点と共通不動点の関係を明らかにすること。

提案手法

• Atsushiba と Takahashi が導入した共通吸引点の概念を用いて、半群の不動点集合を特徴付ける。
• $ C_b(S) $、$ LUC(S) $、$ AP(S) $、$ WAP(S) $ における左不変平均を適用し、共通不動点に収束する作用素のネット $ T_\mu $ を構成する。
• 半群作用に弱分離連続性、弱 jointly 連続性、弱擬等連続性などの位相的条件を課す。
• $ \{T_s c\} $ が点 $ c \in C $ に対して有界である場合、吸引点集合 $ A_C(\mathcal{S}) $ が非空かつ閉凸であることを示す。
• $ X \subset \ell^\infty(S) $ の部分空間に両側不変平均 $ \mu $ が存在する場合、$ T_\mu x \in A_C(\mathcal{S}) $ かつ $ \lim_t P_{A_C(\mathcal{S})}(T_t x) = T_\mu x $ が成り立つことを保証する。
• 連続性および軌道の有界性の仮定を用いて、一般化ハイブリッド写像への結果の拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半トポロジカル半群 $ S $ がどのような条件下に、ヒルバート空間の有界でない閉凸部分集合 $ C \subset H $ 上に非拡大写像の連続表現を持つ場合、共通不動点をもつのか。
• RQ2 $ C $ が有界でない場合でも、$ \{T_s c\} $ が点 $ c \in C $ に対して有界であるならば、共通吸引点の存在を保証できるか。
• RQ3 $ C_b(S) $、$ LUC(S) $、$ AP(S) $、$ WAP(S) $ に左不変平均が存在する場合、$ S $ に対して共通不動点が存在することを保証できるか。
• RQ4 弱分離連続性や弱 jointly 連続性などの半群作用の位相的性質が、不動点構造にどのように影響するか。
• RQ5 非拡大写像に関する結果を、類似の条件下で一般化ハイブリッド写像へどの程度まで拡張できるか。

主な発見

• 半群 $ S $ が左可解な半トポロジカル半群であり、ある $ c \in C $ に対して $ \{T_s c\} $ が有界である場合、$ F(S) \neq \emptyset $ が成り立ち、Atsushiba と Takahashi の結果を非可換半群へ拡張する。
• 右可逆な半トポロジカル半群 $ S $ に対して、$ \{T_s c\} $ が有界で、作用が弱分離連続かつ弱擬等連続である場合、$ A_C(\mathcal{S}) \neq \emptyset $ であり、任意の $ x \in C $ に対して $ T_\mu x \in A_C(\mathcal{S}) $ が成り立つ。
• $ X = C_b(S) $ かつ $ s \mapsto T_s c $ が $ (C, \text{wk}) $ に連続である場合、集合 $ A_C(\mathcal{S}) $ は非空、閉、凸であり、$ \lim_t P_{A_C(\mathcal{S})}(T_t x) = T_\mu x $ が成り立つ。
• $ X = LUC(S) $ では弱 jointly 連続性、$ X = AP(S) $ では弱等連続性、$ X = WAP(S) $ では弱擬等連続性の下で、同様の結論が成り立つ。
• 一般化ハイブリッド写像に対しては、$ \{T_s c\} $ が有界で、$ X \subset \ell^\infty(S) $ が両側不変平均 $ \mu $ を持つ場合、$ A_C(\mathcal{S}) \neq \emptyset $ かつ $ T_\mu x \in A_C(\mathcal{S}) $ が成り立つ。
• 定理 5.4 は、$ C $ が凸である限り、共通吸引点の存在が共通不動点の存在を保証することを確認しており、有界でない設定でも成立する。