[論文レビュー] Fixed Point Theorems and applications in Theory of Games

Monica Patriche|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2013

Economic theories and models参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、弱い*-凹型および弱い自然的擬凹型対応を導入し、それらに対する不動点定理および連続選択定理を証明する。連続性の仮定を要しない抽象経済における均衡存在結果を、連続選択と制約対応のe-WNQS性質に基づく手法により確立する。

ABSTRACT

We introduce the notions of weakly *-concave and weakly naturally quasi-concave correspondence and prove fixed point theorems and continuous selection theorems for these kind of correspondences. As applications in the game theory, by using a tehnique based on a continuous selection, we establish new existence results for the equilibrium of the abstract economies. The constraint correspondences are weakly naturally quasi-concave. We show that the equilibrium exists without continuity assumptions.

研究の動機と目的

• 位相線形空間における弱い*-凹型および弱い自然的擬凹型対応の導入と分析。
• これらの対応に対する不動点定理および連続選択定理の確立。
• これらの結果を応用し、従来の研究よりも弱い仮定の下で抽象経済における均衡存在を証明すること。
• 均衡存在定理における制約対応の連続性要請を排除すること。
• ゲーム理論的応用における非凸および非コンパクトな設定への選択および不動点理論の拡張。

提案手法

• ベクトル値関数と点付き凸錐を用いて、弱い*-凹型および弱い自然的擬凹型対応を定義する。
• コンパクト集合上の対応に対してe-WNQS（イプシロン-弱い自然的擬凹型）性質を導入する。
• マイケルの選択定理および上半連続性を用いて、摂動された対応に対する連続選択を構成する。
• 連続選択と閉包作用を用いて、コンパクトな凸集合 $ X $ 上に多価対応 $ T^V $ を構成する。
• 各 $ V \in \prod \ss_i $ に対して、$ T^V $ にファンの不動点定理を適用し、$ \overline{x}_V \in T^V(\overline{x}_V) $ なる不動点を取得する。
• 閉集合 $ Q_V $ の有限交差性を用いて $ \bigcap Q_V \neq \emptyset $ を示し、均衡点を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的または凸値でない対応に対しても不動点定理を確立できるか？
• RQ2 非連続的かつ非凸値対応に対して連続選択が存在する条件は何か？
• RQ3 制約対応の連続性を仮定しないで、抽象経済における均衡存在を証明できるか？
• RQ4 e-WNQS性質は、非コンパクトまたは非凸な設定における均衡存在を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 連続選択の技法を、弱い凹型に類する制約を持つ抽象経済における均衡存在の証明にどのように拡張できるか？

主な発見

• 弱い自然的擬凹型およびe-WNQSという新しい対応のクラスにより、連続性の仮定なしに不動点定理を確立可能である。
• e-WNQS性質を有する対応に対しては、値が凸でないか、対応自体が連続でない場合でも連続選択が存在する。
• 制約対応がe-WNQS性質を満たせば、連続性を要しない条件下でも抽象経済における均衡が存在する。
• 不動点 $ \overline{x}_V \in T^V(\overline{x}_V) $ は、連続選択とファンの不動点定理を用いて構成される。
• 交わり $ \bigcap Q_V \neq \emptyset $ により、点 $ \overline{x} \in X $ が存在し、$ \overline{x}_i \in \overline{B}_i(\overline{x}) $ かつ $ (A_i \cap P_i)(\overline{x}) = \emptyset $ を満たすことが保証され、これが均衡を定義する。
• 従来の均衡存在定理を、制約対応の連続性および凸性の仮定を排除することで一般化した結果を得た。