[論文レビュー] Fixed Point Theorems for Hypersequences and the Foundation of Generalized Differential Geometry I: The Simplified Algebra

S. O. Juriaans, J. Oliveira|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Mathematical and Theoretical Analysis被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、分布積を含む微分方程式の存在・一意性の証明を可能にする、コロンベーオ一般化関数における超列に関する基礎的不動点定理を確立する。一般化された微分積分学を導入し、古典的微分幾何学を拡張する。古典的多様体が一般化多様体に離散的に埋め込まれ、代数的関係が位相的であることが示される。

ABSTRACT

Fixed point theorems are one of the many tools used to prove existence and uniqueness of differential equations. When the data involved contains products of distributions, some of these tools may not be useful. Thus rises the necessity to develop new environments and tools capable of handling such situations. The foundations of a Generalized Differential Geometry is set having Classical Differential Geometry as a discontinuous subcase, a fixed point theorem for hypersequences is proved in the context of Colombeau Generalized Functions and it is shown how it can be used to obtain existence and uniqueness of differential equations whose data involve products of distributions. Thus also setting the foundations of a Generalized Analysis. The strain is also picked up setting the foundations of generalized manifolds and shown that each classical manifold can be discretely embedded in a generalized manifold in such a way that the differential structure of the latter is a natural extension of the differential structure of the former. It is inferred that $\ {\cal{D}}^{\prime}(Ω)$ is discretely embedded in $\ {\cal{G}}(Ω)$, that the elements of $\ C^{\infty}(Ω)$ form a grid of equidistant points in $\ {\cal{G}}(Ω)$ and that association in $\ {\cal{G}}(Ω)$ is a topological and not an algebraic notion. Ergo, classical solutions to differential equations are scarce. These achievements reckoned upon the Generalized Differential Calculus invented by the first author and his collaborators. Hopefully, Generalized Differential Calculus and the developments presented in this paper, may be of interest to those working in Analysis, Applied Mathematics, Geometry and Physics.

研究の動機と目的

• 分布積を含む微分方程式を解くために、コロンベーオ一般化関数代数内に内在的な不動点定理を構築すること。
• 古典的微分積分学を拡張する一般化された微分幾何学の基礎となる一般化された微分積分学を確立すること。
• 古典的多様体が一般化多様体に離散的に埋め込まれ、その微分構造が保存されるとともに拡張されることを示すこと。
• コロンベーオ代数 G(Ω) における関係が代数的ではなく位相的であることを明確にし、古典的解の不足を挑戦すること。
• 一般化解析および一般化幾何学の基盤を、一般化された設定における重要な定理（逆関数定理、陰関数定理など）を証明することで築くこと。

提案手法

• コロンベーオ代数の文脈において超列を導入し、収束および不動点の議論を一般化する。
• 先行研究で開発された一般化された微分積分学を応用し、一般化多様体上の微分可能性、逆写像、陰関数を定義する。
• G(Ω) の代数的構造と整合性を保つために、シャープ位相（ビアジオーニ＝シュカルパレゾス位相の洗練版）を用いる。
• 一般化導関数を用いて定義される局所的チャートを用いて、R^n の開部分集合を値域とする一般化多様体を構成する。
• 埋め込み定理を用いて、R^n が R^n に離散的に埋め込まれることを示し、古典的時空が等間隔の点のグリッドとして見なされることを示す。
• 一般化された設定における陰関数定理を適用し、正則値の逆像が一般化された部分多様体であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コロンベーオ代数内に内在的な不動点定理を構築することで、分布積を含む微分方程式を解くことは可能か？
• RQ2 一般化された微分幾何学は、古典的微分幾何学の整合的な拡張としてどのように構築できるか？
• RQ3 古典的多様体が一般化多様体に埋め込まれる性質は何か？その微分構造はどのように保存されるか？
• RQ4 コロンベーオ代数 G(Ω) における関係は代数的であるか、位相的であるか？そして古典的解に与える影響は何か？
• RQ5 一般化された設定において、正則値の逆像が一般化された部分多様体をなすための条件は何か？

主な発見

• コロンベーオ代数において超列のための不動点定理が確立され、分布積を含む微分方程式の存在・一意性に関する結果が得られる。
• 古典的多様体は、一般化された微分構造が古典的構造を拡張するように、一般化多様体に離散的に埋め込まれる。
• D′(Ω) は G(Ω) に離散的に埋め込まれており、C∞(Ω) は G(Ω) 内で等間隔の点のグリッドを形成する。これは離散的時空構造を示唆する。
• G(Ω) における関係は代数的ではなく位相的であるため、古典的解はまれであり、代数的に定義できない。
• 一般化多様体は、一般化された逆写像定理、陰関数定理、局所的埋め込み定理を満たす。
• 一般化多様体の例には、有界な微分係数をもつ C∞ 関数のグラフ、球面、および点のハロー（これは古典的多様体ではない）が含まれる。