[論文レビュー] Fixed point theorems for Meir-Keeler type contractions in metric spaces

Mortaza Abtahi|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2016

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 20被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、完備な距離空間におけるMeir-Keeler型収縮写像のPicard反復列がコーシー列であることを簡略化して検証するための新しい補題を導入する。この基準を適用することで、著者はProinovおよびSuzukiの固定点定理を含むいくつかの固定点定理について、簡潔で統一的な証明を提示するとともに、Meir-Keeler型の漸近的収縮に関する新たな結果も確立する。

ABSTRACT

We establish a simple and powerful lemma that provides a criterion for sequences in metric spaces to be Cauchy. Using the lemma, it is then easily verified that the Picard iterates $\{T^nx\}$, where $T$ is a contraction or asymptotic contraction of Meir-Keeler type, are Cauchy sequences. As an application, new and simple proofs for several known results on the existence of a fixed point for continuous and asymptotically regular self-maps of complete metric spaces satisfying a contractive condition of Meir-Keeler type are derived. These results include the remarkable fixed point theorem of Proinov in [Petko D. Proinov, Fixed point theorems in metric spaces, Nonlinear Anal. extbf{46} (2006) 546--557], the fixed point theorem of Suzuki for asymptotic contractions in [Tomonari Suzuki, A definitive result on asymptotic contractions, J. Math. Anal. Appl. extbf{335} (2007) 707--715], and others. We also prove some new fixed point theorems.

研究の動機と目的

• 距離空間における列がコーシーであるための一般基準を確立し、固定点解析を簡素化すること。
• 完備な距離空間におけるMeir-Keeler型収縮写像の既存の固定点定理の証明を統一的かつ簡潔にすること。
• 固定点結果の適用範囲をMeir-Keeler型の漸近的収縮へ拡張すること。
• 連続的かつ漸近的に正則な自己写像が一般化された収縮条件を満たす場合の新しい固定点定理を証明すること。
• 最終的な漸近的収縮の定義（Suzukiによるもの）が、完備性の下でより広いクラスの漸近的m-収縮と同値であることを示すこと。

提案手法

• 関数m(x,y)が特定の不等式を満たす場合に、列がコーシーであるための十分条件を与える新しい補題を提示する。
• この補題を用いて、TがMeir-Keeler型または漸近的Meir-Keeler型収縮であるとき、Picard反復列{T^n x}がコーシーであることを示す。
• この補題を用いて、既知の固定点定理（Proinovの定理やSuzukiの定理を含む）の簡潔で統一的な証明を導出する。
• 条件(2.3)を満たす関数m(x,y)を用いて、Meir-Keeler条件を一般化した漸近的m-収縮を定義する。
• mが(2.3)を満たし、Tが漸近的m-収縮である場合、{T^n x}がコーシーであることを証明する。
• 任意の(2.3)を満たすmを有する漸近的m-収縮は、Suzukiの定義による最終的タイプの漸近的収縮であることを示し、理論を統一する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直接的なε-δ推移を用いずに、距離空間におけるPicard反復列がコーシーであることを確認するための一般基準を開発できるか？
• RQ2 統一的な解析的ツールを用いて、Meir-Keeler型収縮写像の既存の固定点定理をより簡潔に導出できるか？
• RQ3 漸近的m-収縮のクラスとSuzukiの最終的漸近的収縮の定義との間にはどのような関係があるか？
• RQ4 mが(2.3)を満たす漸近的m-収縮が、Picard反復列の収束を保証するための条件は何か？
• RQ5 関数m(x,y)をより一般化することで、Meir-Keeler条件を拡張し、新しい固定点定理を確立できるか？

主な発見

• 提示された補題は、ある特定の均一連続性に類する不等式を満たす関数m(x,y)に基づいて、列がコーシーであるための十分条件を与える。
• この補題により、Meir-Keeler型収縮写像に対して、Picard反復列{T^n x}がコーシーであることを直接的かつ簡潔に検証できる。
• 同一の補題を用いて、Proinovの固定点定理およびSuzukiの漸近的収縮結果について、新たな簡潔な証明が得られた。
• 本稿では、すべてのx ∈ Xに対して条件(2.3)を満たす任意の漸近的m-収縮が、Suzukiが定義した最終的タイプの漸近的収縮であることを証明した。
• 連続的かつ漸近的に正則な自己写像が一般化されたMeir-Keeler条件を満たす場合、Picard反復列{T^n x}は唯一つの固定点に収束する。
• 理論的に、完備性の下で最終的漸近的収縮の定義がより広いクラスの漸近的m-収縮と同値であることを示し、既存の結果を統一的かつ一般化した。