[論文レビュー] Fixed point theorems for nonconvex valued correspondences and applications in game theory

Monica Patriche|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2013

Optimization and Variational Analysis参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非凸かつ非連続な対応について、弱く自然的準凸性、*-弱く自然的準凸性、弱く双凸性、および*-弱く凸なグラフを有するものという新しいクラスを導入し、それらに対する不動点定理を確立する。W. K. Kimの準点定理のバージョンと連続選択技術を用いて、より緩い凸性および連続性の仮定のもとで一般化 quasi ゲームにおける均衡の存在を証明し、ゲーム理論的モデルの範囲を拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we introduce several types of correspondences: weakly naturally quasiconvex, *-weakly naturally quasiconvex, weakly biconvex and correspondences with *--weakly convex graph and we prove some fixed point theorems for these kinds of correspondences. As a consequence, using a version of W. K. Kim's quasi-point theorem, we obtain the existence of equilibria for a quasi-game.

研究の動機と目的

• 連続でも値が凸でない対応に対する不動点理論を拡張し、長年の未解決問題である不動点理論における課題に取り組む。
• 弱く自然的準凸性、*-弱く自然的準凸性、弱く双凸性、および*-弱く凸なグラフを有する対応という新しいクラスを導入・分析し、従来の結果よりも柔軟な条件を提供する。
• これらの不動点定理を応用して、無限人間を含む非凸戦略集合および非連続な好みを有する状況においても、一般化 quasi ゲームにおける均衡の存在を証明する。
• 制約対応および好み対応における標準的な凸性および連続性の仮定を弱める事で、ゲーム理論における均衡存在定理を一般化する。

提案手法

• 弱く自然的準凸性、*-弱く自然的準凸性、弱く双凸性、および*-弱く凸なグラフを有する対応という4つの新しいタイプの対応を導入し、古典的な凸性または連続性の条件を緩和する。
• グラフの閉包および上半連続性などの位相的・集合論的道具を用いて、これらの対応に対する不動点定理を証明する。
• W. K. Kimの準点定理のバージョンを適用し、一般化 quasi ゲームにおける均衡の存在を導出する。
• Yannelis と Prahbakar (1995) の連続選択技術を用い、*-弱く凸なグラフを有する対応および弱く自然的準凸構造を有する対応に対して選択肢を構築する。
• 非空かつ凸値をとる制約対応 $ B_i $ を有する一般化 quasi ゲームモデルを定義し、$ A_i \subset B_i $ かつ $ \text{cl } B_i $ が上半連続であることを仮定する。
• 選択および閉包の性質から矛盾を導くことで、各エージェント $ i $ に対して $ y_i^* \in \text{cl } B_i(x^*,y^*) $ および $ A_i(x^*,y^*) \cap P_i(x^*,y^*) = \emptyset $ が成り立つことを示し、均衡条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続でも値が凸でない対応について、より弱い構造的仮定のもとで不動点定理を確立できるか？
• RQ2 弱く自然的準凸性、*-弱く自然的準凸性、弱く双凸性、および*-弱く凸なグラフを有する対応という新しいクラスが、完全な凸性や連続性がなくても不動点を保証するのに十分か？
• RQ3 これらの不動点結果を、非凸戦略集合および非連続な好みを有する一般化 quasi ゲームにおける均衡の存在証明に応用できるか？
• RQ4 連続選択技術は、*-弱く凸なグラフおよび弱く自然的準凸構造を有する対応に対して、均衡モデルで有効か？
• RQ5 非可算なエージェント集合を有する一般化 quasi ゲームにおいて、均衡条件 $ y_i^* \in \text{cl } B_i(x^*,y^*) $ および $ A_i(x^*,y^*) \cap P_i(x^*,y^*) = \emptyset $ が成り立つ条件は何か？

主な発見

• グラフ構造を緩和した条件下で、*-弱く凸なグラフを有する対応について不動点定理を確立し、その存在を証明する。
• 弱く自然的準凸性および開集合の仮定のもとで、一般化 quasi ゲーム $ \Gamma $ に対して不動点 $ (x^*, y^*) \in X \times X $ が存在し、$ y_i^* \in \text{cl } B_i(x^*, y^*) $ および $ A_i(x^*, y^*) \cap P_i(x^*, y^*) = \emptyset $ が成り立つことを証明する。
• $ A_i \cap P_i $ が弱く双凸であり、$ W_i $ が双凸包の内部である場合、連続選択および不動点の議論により均衡の存在が保証される。
• 証明では、$ x_i^* \in \Phi_i(x^*, y^*) $ ならば、仮定 $ x_i \notin P_i(x,y) $ と矛盾が生じるため、$ \Phi_i(x^*, y^*) = \emptyset $ となり、$ (x^*, y^*) \notin W_i $ であることが示され、均衡条件が保証される。
• 従来の均衡存在定理を一般化し、完全な凸性や連続性の必要性を排除することで、非凸および非連続な好みおよび制約対応を許容する。
• フレームワークは非可算なエージェント集合 $ I $ をサポートし、$ X_i $ がハウスドルフ局所凸空間におけるコンパクトな凸集合であることを仮定することで、無限次元および大規模ゲームモデルへの適用範囲を拡張する。