[論文レビュー] Fixed Point Theorems in Partial Cone Metric Spaces

Ayşe Sönmez|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2011

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 11被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、自己距離条件を緩和することで、錐距離空間を一般化する部分錐距離空間の概念を導入する。この新しい枠組みにおいて、収縮写像の不動点定理を確立し、このような空間がT₀位相空間であることを証明するとともに、収縮写像の不動点に関する主要な結果—例えば、収縮写像の不動点定理—が、この一般化された設定でも有効であることを示している。

ABSTRACT

Recently many papers on cone metric spaces have been appeared, and main topological properties of such spaces have been obtained. A cone metric space is Hausdorff, and first countable, so the topology of it coincides with a topology induced by an appreciate metric. In this paper the concept of a partial cone metric space is introduced, and some fixed point theorems of contractive mappings in this generalized setting are proved as well as some theorems related to topological properties. It turns out that a partial cone metric space is a topological space which is T_{0}, and some of main fixed point theorems are also valid in this generalized setting.

研究の動機と目的

• 錐距離空間の概念を一般化するために、部分錐距離空間を導入すること。
• 部分錐距離空間の位相的性質、特にT₀性を調査すること。
• 従来、錐距離空間で有効であった古典的不動点定理を、部分錐距離空間のより広い設定へと拡張すること。
• 部分錐距離空間における収縮写像が不動点を持つための条件を確立すること。

提案手法

• 自己距離条件を緩和した錐距離空間の一般化として、部分錐距離空間を定義すること。
• 部分錐距離によって誘導される錐位相を用いて、T₀分離性などの位相的性質を分析すること。
• 部分錐距離フレームワークに適合した収縮写像の原理を適用すること。
• 部分錐距離空間における完備性と収縮条件が、不動点の存在を示すことの証明。
• 部分錐距離空間の位相が、適切な距離によって誘導される位相と一致することを示すこと。
• 標準的な錐距離空間における不動点定理が、一般化された部分錐距離構造のもとでも有効であることを確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 錐距離空間の概念を、部分的自己距離を許容するようにどのように一般化できるか？
• RQ2 部分錐距離空間は、分離公理のようないくつかの位相的性質を満たすか？
• RQ3 部分錐距離空間において、収縮写像が不動点を持つための条件は何か？
• RQ4 錐距離空間で成立する古典的不動点定理は、どの程度部分錐距離空間の設定へと拡張可能か？
• RQ5 部分錐距離空間の位相は、標準的な距離によって誘導される位相と同値か？

主な発見

• 部分錐距離空間はT₀位相空間であるため、最小限の位相的分離性が保証される。
• 部分錐距離空間の位相は、適切な距離によって誘導される位相と一致するため、標準的な距離空間理論と結びつく。
• 収縮写像の不動点定理は、部分錐距離空間においても有効であり、錐距離空間での既知の結果が拡張される。
• 部分錐距離空間の構造により、不動点結果の一般化が可能であり、同時に本質的な位相的および距離的性質が保持される。
• 部分錐距離空間における収縮写像の不動点の存在は、標準的な錐距離空間における条件と類似した条件下で保証される。
• 本稿では、部分錐距離フレームワークが、完備性と収縮性といった不動点解析に必要な本質的特徴を保持していることが確立された。